Les nombres entiers

Les entiers naturels

Un entier naturel est un nombre qui commence à 0 et qui permet de compter, dénombrer des objets sans limite maximale, on parle d'infini noté ∞. L'ensemble des entiers naturels est noté ℕ. On peut donc écrire 0 ∈ ℕ , 9 ∈ ℕ, 5654878458145 ∈ ℕ , ...
Un entier naturel est appelé "entier non signé" en informatique.

Il existe un ensemble privé de la valeur 0 noté ℕ^* ou ℕ\{0}, donc 0 ∉ ℕ^*.

Dans cet ensemble ℕ, on peut :

• additionner deux entiers naturels, le résultat est un entier naturel.
• soustraire deux entiers naturels à condition que le premier soit plus grand que le deuxième.
• multiplier deux entiers naturels, le résultat est un entier naturel.
• diviser deux entiers naturels à condition que le premier soit plus grand que le deuxième, le résultat comprend le quotient et le reste qui sont des entiers naturels.

Factorielle

La factorielle d'un entier naturel n est le produit de tous les entiers naturels de 1 à n. Elle peut s'exprimer avec la relation : $n!={\displaystyle \prod _{k=1}^n}k$.
La valeur particulière en 0 est : 0!=1. Il existe également une expession de calcul par récurrence : $\forall n>0,n!=n\times (n-1)!$, cette relation est utilisée dans les programmes informatiques.

Premières factorielles

Remarque : Le calcul de la factorielle donne très vite de très grands nombres. Ce qui fait que, selon les ordinateurs, les logiciels ou encore les calculatrices, on peut obtenir des erreurs de calcul à partir de certaines valeurs de n :

On va retrouver la factorielle pour le calcul des coefficients du binôme de Newton.

Les entiers relatifs

Un entier relatif est un nombre entier qui peut être positif ou négatif sans limites et va donc de -∞ à +∞. L'ensemble des entiers relatifs est noté ℤ. On peut donc écrire -1 ∈ ℤ , 0 ∈ ℤ, -5654878458145 ∈ ℤ , ...
Un entier relatif est appelé "entier signé" en informatique.

Il existe un ensemble privé de la valeur 0 noté ℤ^* ou ℤ\{0}, donc 0 ∉ ℤ^*.

Dans cet ensemble ℤ, on peut :

• aditionner deux entiers relatifs, le résultat est un entier relatif.
• soustraire deux entiers relatifs, le résultat est un entier relatif.
• multiplier deux entiers relatifs, le résultat est un entier relatif.
• diviser deux entiers relatifs à condition que le premier soit plus grand que le deuxième.

Addition

Si les deux nombres sont de même signe, on fait l'addition des deux nombres et on affecte le signe au résultat. Si les deux nombres sont de signe contraire, on fait la soustraction et on affecte le signe du plus grand nombre au résultat. Avant de faire le calcul, on peut bien sûr supprimer les parenthèses en respectant quelques règles qui consistent à remplacer un signe + suivi d'un signe − à l'intérieur des parenthèses par un −.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une addition

Soustraction

Si les deux nombres sont de signe contraire, on fait l'addition. Le signe du résultat est celui du premier nombre. Si les ceux nombres sont de même signe, on effectue la soustraction. Le signe du résultat est le signe du plus grand des deux nombres. Avant de faire le calcul, on peut bien sûr supprimer les parenthèses en respectant quelques règles qui consistent à remplacer un signe − suivi d'un signe − à l'intérieur des parenthèses par un +, et le signe − suivi d'un signe + à l'intérieur des parenthèses par une signe −

Prendre un papier et un crayon, puis demander une soustraction

Multiplication

Si les deux nombres sont de même signe, le signe du résultat est positif. SI les nombres sont de signe contraire, le signe du résultat est négatif.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une multiplication

Division entère

L'extension aux entiers relatifs est décrite sur ce site qui montre qu'il y a plusieurs règles de calcul lorsque le dividende ou le diviseur est négatif. Ces règles dépendent souvent de l'outils de calcul et font que la fonction de calcul du modulo n'est pas toujours cohérente avec la fonction de calcul de la division entière, comme le montre cet exemple avec la calculatrice.
Un autre exemple avec les fonctions quotient et mod des tableurs :

Ici nous utilsierons la règles des signes de la multiplication pour le calcul de la division entière : si le dividende et le diviseur sont de même signe, le quotient est positif, et si le dividende et le diviseur sont de signe contraire, le signe du quotient est négatif. Ce qui fait que le signe du reste correspond au signe du dividende.

Prendre un papier et un crayon, puis demander une division