Les matrices et vecteurs : les vecteurs

Opérations

Addition

Définition

Soient deux vecteurs u ∈ 𝕂ⁿ et v ∈ 𝕂ⁿ, notés respectivement :

\displaystyle\vec{u}=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)

\displaystyle\vec{v}=\left(\begin{array}[]{c}y_{0}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)

La somme w ∈ 𝕂ⁿ de ces deux vecteurs s'écrit :

\displaystyle\vec{w}=\left(\begin{array}[]{c}z_{0}\\ z_{1}\\ \vdots\\ z_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)+\left(\begin{array}[]{c}y_{0}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}+y_{0}\\ x_{1}+y_{1}\\ \vdots\\ x_{n}+y_{n}\end{array}\right)

Exemples

Addition des vecteurs

u→=(-54)
et
v→=(-50)
La somme est 

w→=(-104)
Addition des vecteurs

u→=(55)
et
v→=(5-4)
La somme est 

w→=(101)
Addition des vecteurs

u→=(51-5)
et
v→=(-32-5)
La somme est 

w→=(23-10)
Addition des vecteurs

u→=(-1-4-4)
et
v→=(4-41)
La somme est 

w→=(3-8-3)

Jouons avec les additions

Choisir la taille puis demander les

Solution [ Voir ]

Multiplication par un scalaire

Définition

soient u ∈ 𝕂ⁿ et λ ∈ ℝ

\displaystyle\vec{u}=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)

On multiplie chaque composante du vecteur par le scalaire

\displaystyle\vec{v}=\left(\begin{array}[]{c}y_{0}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)=\lambda\vec{u}=\left(\begin{array}[]{c}\lambda x_{0}\\ \lambda x_{1}\\ \vdots\\ \lambda x_{n}\end{array}\right)

On dit que les vecteurs u et v sont colinéaires

Exemples

Multiplication d'un vecteur par le scalaire -2

u→=(-54)
Le résultat est 

w→=-2u→=(10-8)
Multiplication d'un vecteur par le scalaire 3

u→=(-2-3)
Le résultat est 

w→=3u→=(-6-9)
Multiplication d'un vecteur par le scalaire 5

u→=(4-23)
Le résultat est 

w→=5u→=(20-1015)

Jouons avec la multiplication par un scalaire

Choisir la taille puis demander un

Solution [ Voir ]

Produit scalaire

Définition

Soient deux vecteurs u ∈ 𝕂ⁿ et v ∈ 𝕂ⁿ, notés respectivement :

\displaystyle\vec{u}=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)

\displaystyle\vec{v}=\left(\begin{array}[]{c}y_{0}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)

La produit scalaire p ∈ ℝ de ces deux vecteurs s'écrit :

\displaystyle p=\vec{u}\cdot\vec{v}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}

Propriété

Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les deux vecteurs sont perpendiculaires.

\displaystyle\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{k}^{n};\vec{u}\cdot\vec{v}=0% \Leftrightarrow\vec{u}\perp\vec{v}

Exemples

Produit scalaire des vecteurs

u→=(5-1)
et
v→=(31)
Le produit scalaire est 

p=u→⋅v→=(5)(3)+(-1)(1)=14
Produit scalaire des vecteurs

u→=(34)
et
v→=(-43)
Le produit scalaire est 

p=u→⋅v→=(3)(-4)+(4)(3)=0
Le produit scalaire est nul, les vecteurs sont perpendiculaires
Produit scalaire des vecteurs

u→=(-2-1-2)
et
v→=(-3-1-1)
Le produit scalaire est 

p=u→⋅v→=(-2)(-3)+(-1)(-1)+(-2)(-1)=9
Produit scalaire des vecteurs

u→=(342)
et
v→=(-23-3)
Le produit scalaire est 

p=u→⋅v→=(3)(-2)+(4)(3)+(2)(-3)=0
Le produit scalaire est nul, les vecteurs sont perpendiculaires

Jouons avec le produit scalaire

Choisir la taille puis demander un

Solution [ Voir ]

Norme

Définition

soit u ∈ 𝕂ⁿ

\displaystyle\vec{u}=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)

La norme euclidienne s'écrit :

\displaystyle||\vec{u}||_{2}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x% _{i}^{2}}}

La norme euclidienne est la p-norme avec p=2. Plus généralement la p-norme d'écrit :

\displaystyle||\vec{u}||_{p}=\left[\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}\right]^{\frac{1}{% p}}

En plus de la norme euclidienne, les autres normes utilisées sont la norme 1 (p=1) et la norme infinie (p → ∞) :

\displaystyle||\vec{u}||_{1}=\sum_{i=1}^{n}{|x_{i}|}

\displaystyle||\vec{u}||_{\infty}=\max_{1\leq i\leq n}{|x_{i}|}

La norme permet également d'écrire le produit scalaire de deux vecteurs :

\displaystyle\vec{u}\cdot\vec{v}=||\vec{u}||_{2}||\vec{v}||_{2}\cos\left(% \widehat{\vec{u}\vec{v}}\right)

Exemples

Norme euclidienne d'un vecteur

u→=(1-2)
Le résultat est 

||u→||2=(1)2+(-2)2=5=2.24
Norme 1 d'un vecteur

u→=(1-2)
Le résultat est 

||u→||1=|1|+|-2|=3.00
Norme infinie d'un vecteur

u→=(1-2)
Le résultat est 

||u→||∞=max1≤i≤2|xi|=2.00

Jouons avec la norme d'un vecteur

Choisir la taille , avec la norme puis demander un

Solution [ Voir ]

Distance entre deux vecteurs

Définition

soient u ∈ 𝕂ⁿ et v ∈ 𝕂ⁿ

\displaystyle\vec{u}=\left(\begin{array}[]{c}x_{0}\\ x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right)

\displaystyle\vec{v}=\left(\begin{array}[]{c}y_{0}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)

La distance euclidienne s'écrit :

\displaystyle d(\vec{u},\vec{v})=||\vec{u}-\vec{v}||_{2}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{% (x_{i}-y_{i})^{2}}}

On peut remarquer que la distance euclidienne entre deux vecteurs est la norme euclidienne du vecteur différence de ces deux vecteurs.

Comme pour la norme, la distance peut se généraliser en p-distance :

\displaystyle d_{p}(\vec{u},\vec{v})=||\vec{u}-\vec{v}||_{p}=\left[\sum_{i=1}^% {n}{(x_{i}-y_{i})^{p}}\right]^{\frac{1}{p}}

On retrouve les deux autres distances 1 et infinie :

\displaystyle d_{1}(\vec{u},\vec{v})=||\vec{u}-\vec{v}||_{1}=\sum_{i=1}^{n}{|x% _{i}-y_{i}|}

\displaystyle d_{\infty}(\vec{u},\vec{v})=||\vec{u}-\vec{v}||_{\infty}=\max_{1% \leq i\leq n}{|x_{i}-y_{i}|}

Exemples

Distance euclidienne de vecteurs

u→=(3-5)
et
v→=(04)
Le résultat est 

||u→-v→||2=((3)-(0))2+((-5)-(4))2=90=9.49
Distance 1 de vecteurs

u→=(3-5)
et
v→=(04)
Le résultat est 

||u→-v→||1=|(3)-(0)|+|(-5)-(4)|=12.00
Distance infinie de vecteurs

u→=(3-5)
et
v→=(04)
Le résultat est 

||u→-v→||∞=max1≤i≤2|(xi)-(yi)|=9.00

Jouons avec la distance entre vecteurs

Choisir la taille , avec la distance puis demander les

Solution [ Voir ]

Les vecteurs

Définitions

Opérations

Addition

Définition

Exemples

Jouons avec les additions

Multiplication par un scalaire

Définition

Exemples

Jouons avec la multiplication par un scalaire

Produit scalaire

Définition

Propriété

Exemples

Jouons avec le produit scalaire

Norme

Définition

Exemples

Jouons avec la norme d'un vecteur

Distance entre deux vecteurs

Définition

Exemples

Jouons avec la distance entre vecteurs