Les nombres complexes

Avertissement

En mathématique, les nombres s'expriment avec des expressions qui contiennent des quotients , des racines carrées, ... qui représentent les valeurs exactes. Le calcul numérique donne toujours des valeurs approchées. Ce qui fait que les exemples et exercices donneront toujours des valeurs décimales approchées. Afin de vérifier les résultats le lecteur devra effectuer le calcul de la valeur approchée du résultat final, en respectant le fait que l'on ne fait jamais de calculs intermédiaires approchés.

Les nombres complexes

Les nombres complexes sont des nombres qui représentent la somme d'un nombre réel qui correspond à la partie réelle et d'un nombre imaginaire qui est le produit d'un nombre réel par le symbole i tel que i2=(-i)2=-1.
				Un nombre complexe se représente dans un plan complexe ou l'axe des abscisses représente la partie réelle et l'axe des ordonnées la parite imaginaire.

				L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ.
Un nombre complexe s'écrit donc sous la forme z=a+ib avec a=ℜ(z)=Re(z) qui la partie réelle de z avec a ∈ ℝ et b=ℑ(z)=Im(z) qui est la partie imaginaire de z avec b ∈ ℝ 
La forme z=a+ib correspond à la représentation cartésienne, la forme z=R×eiθ, avec e exponentielle, correspond à la représentation polaire avec
				    R  =    |  Z  |    =        a  2    +    b  2          
				qui est le module et 
				      arg  ⁡    (  Z  )      =    ∠  ⁢  Z    =  θ  =    arctan  ⁡    (      b  a      )        
				qui est l'argument. Il ne faut pas oublier le domaine de définition de l'argument comme cela a été présenté avec la calculatrice.
				
Le passage de la représentation polaire à la représentation cartésienne se fait avec la relation : 
				    Z  =    a  +    i  ⁢  b      =      R  ⁢    cos  ⁡    (  θ  )        +    i  ⁢  R  ⁢    sin  ⁡    (  θ  )            
				
On peut également voir cette émission sur arte.tv (également sur la canal 77 de la TNT via le wifi) ou bien sur sa chaîne youtube

Exemples :

Z=2+i=2.236ei0.148π
Représentation dans le plan complexe
Z=2-i=2.236e-i0.148π
Représentation dans le plan complexe
Z=-0.707+0.707i=1ei0.75π
Représentation dans le plan complexe
Z=-2-3i=3.606e-i0.687π
Représentation dans le plan complexe

Et si on jouait au passage coordonnées cartésiennes vers/depuis coordonnées polaires

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Addition et soustraction

L'addition (la soustraction) de deux nombres complexes se fait en ajoutant (soustrayant) les parties réelles d'une part et imaginaires d'autre part.

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}z&=&z_{1}+z_{2}\\ &=&a_{1}+ib_{1}+a_{2}+ib_{2}\\ &=&a_{1}+a_{2}+i(b_{1}+b_{2})\\ \end{array}

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}z&=&z_{1}-z_{2}\\ &=&a_{1}+ib_{1}-(a_{2}+ib_{2})\\ &=&a_{1}+a_{2}-i(b_{1}+b_{2})\end{array}

Exemples :

z = z_{1} + z_{2} = (1 +2 i) + (2 +3 i) = 3 +5 i

z = z_{1} + z_{2} = (2 -5 i) + (3 +2 i) = 5 -3 i

z = z_{1} - z_{2} = (2 -5 i) - (3 +2 i) = -1 -7 i

z = z_{1} - z_{2} = (3 +5 i) - (1 +2 i) = 2 +3 i

jouons à additionner des nombres complexes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Addition en représentation polaire

Pour additionner des nombres en représentation polaire, il suffit de passer en représentation cartésienne avant de faire l'addition. Ici on propose de jouer à faire cette addition à partir des valeurs des modules et arguments de la représentation polaire.

On défini les nombres complexes : $\displaystyle Z_{1}=R_{1}e^{i\theta_{1}}$ , $\displaystyle Z_{2}=R_{2}e^{i\theta_{2}}$ et $\displaystyle Z_{s}=R_{s}e^{i\theta_{s}}=Z_{1}+Z_{2}$

En exprimant les modules en fonction des valeurs de la représentation cartésienne, on peut écrire :

					          R  s  2        =            (      a  1    +    a  2      )    2    +      (      b  1    +    b  2      )    2                =            a  1  2    +    2  ⁢    a  1    ⁢    a  2      +    a  2  2      =      b  1  2    +    2  ⁢    b  1    ⁢    b  2      +    b  2  2                  =          a  1  2    +    b  1  2    +    a  2  2    +    b  2  2    +    2  ⁢    a  1    ⁢    a  2      +    2  ⁢    b  1    ⁢    b  2                  =          R  1  2    +    R  2  2    +    2  ⁢    R  1    ⁢    cos  ⁡    (    θ  1    )      ⁢    R  2    ⁢    cos  ⁡    (    θ  2    )        +    2  ⁢    R  1    ⁢    sin  ⁡    (    θ  1    )      ⁢    R  2    ⁢    sin  ⁡    (    θ  2    )                    =          R  1  2    +    R  2  2    +    2  ⁢    R  1    ⁢    R  2    ⁢    (        cos  ⁡    (    θ  1    )      ⁢    R  2    ⁢    cos  ⁡    (    θ  2    )        +      sin  ⁡    (    θ  1    )      ⁢    R  2    ⁢    sin  ⁡    (    θ  2    )          )                  =          R  1  2    +    R  2  2    +    2  ⁢    R  1    ⁢    R  2    ⁢    cos  ⁡    (      θ  1    -    θ  2      )                    R  s        =            R  1  2    +    R  2  2    +    2  ⁢    R  1    ⁢    R  2    ⁢    cos  ⁡    (      θ  1    -    θ  2      )                  
				
En pratiquant de même avec les valeurs des parties imaginaires

					            R  s    ⁢    sin  ⁡    (    θ  s    )            =            R  1    ⁢    sin  ⁡    (    θ  1    )        +      R  2    ⁢    sin  ⁡    (    θ  2    )                    sin  ⁡    (    θ  s    )          =                R  1    ⁢    sin  ⁡    (    θ  1    )        +      R  2    ⁢    sin  ⁡    (    θ  2    )            R  s                  θ  s        =        arcsin  ⁡    (            R  1    ⁢    sin  ⁡    (    θ  1    )        +      R  2    ⁢    sin  ⁡    (    θ  2    )            R  s        )                θ  s        =        arcsin  ⁡    (            R  1    ⁢    sin  ⁡    (    θ  1    )        +      R  2    ⁢    sin  ⁡    (    θ  2    )                R  1  2    +    R  2  2    +    2  ⁢    R  1    ⁢    R  2    ⁢    cos  ⁡    (      θ  1    -    θ  2      )                )            
				
On fait de même avec le cosinus

					      θ  s    =    arccos  ⁡    (            R  1    ⁢    cos  ⁡    (    θ  1    )        +      R  2    ⁢    cos  ⁡    (    θ  2    )                R  1  2    +    R  2  2    +    2  ⁢    R  1    ⁢    R  2    ⁢    cos  ⁡    (      θ  1    -    θ  2      )                )

Multiplication

La multiplication de deux nombres complexes se fait en multipliant les modules et en ajoutant les arguments ou bien en partant de la représentation cartésienne :
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}z&=&z_{1}\times z_{2}\\ &=&\left(a_{1}+ib_{1}\right)\left(a_{2}+ib_{2}\right)\\ &=&a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\end{array}$

Exemples :

z=z1×z2=(1+2i)×(2+3i)=(1)×(2)-(2)×(3)+i((1)×(3)+(2)×(2))=-4+7i
z=z1×z2=(3-4i)×(2+i)=(3)×(2)-(-4)×(1)+i((3)×(1)+(2)×(-4))=10-5i
z=z1×z2=(-1+2i)×(3-i)=(-1)×(3)-(2)×(-1)+i((-1)×(-1)+(3)×(2))=-1+7i

jouons à multiplier des nombres complexes

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Division

La division de deux nombres complexes se fait en divisant les modules et en soustrayant les arguments ou en partant de la représentation cartésienne :
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}z&=&\frac{z_{1}}{z_{2}}\\ &=&\frac{a_{1}+ib_{1}}{a_{2}+ib_{2}}\\ &=&\frac{\left(a_{1}+ib_{1}\right)\left(a_{2}-ib_{2}\right)}{\left(a_{2}+ib_{2% }\right)\left(a_{2}-ib_{2}\right)}\\ &=&\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+i(-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}% \\ \end{array}$ .

Pour rendre réel le dénominateur, on muliplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : $\displaystyle z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\overline{z_{2}}}{z_{2}% \overline{z_{2}}}$
On obtient le conjugué d'un nombre complexe $\displaystyle z=a+ib$ en changeant le signe de la partie imaginaire : $\displaystyle\overline{z}=a-ib$ .

On peut remarquer que : $\displaystyle z_{2}\overline{z_{2}}=|z_{2}|^{2}$ .

Exemples :

z=z1z2=1+2i2+3i=(1+2i)(2-3i)(2+3i)(2-3i)=813+113i≈0.615+0.077i
z=z1z2=3-i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=22-42i=1-2i
z=z1z2=-1+3i2-2i=(-1+3i)(2+2i)(2-2i)(2+2i)=-88+48i=-1+0.5i
z=z1z2=-1+4i-2+i=(-1+4i)(-2-i)(-2+i)(-2-i)=65-75i≈1.2-1.4i

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