Opérations sur les polynômes

Addition et soustraction

Avec les nombres signés, on ne distinguera pas l'addition de la soustraction, car soustraire revient à ajouter le polynôme en inversant les signes du deuxième polynôme.

Pour additionner deux polynômes, il suffit d'ajouter les coefficients des puissances identiques :

\displaystyle P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

\displaystyle P_{2}(x)=b_{n}x^{n}+...+b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}S(x)&=&P_{1}(x)+P_{2}(x)\\ &=&\left(a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)+\left(b_{n}x^{n}+...+b_% {2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\right)\\ &=&(a_{n}+b_{n})x^{n}+...+(a_{2}+b_{2}x^{2})+(a_{1}+b_{1})+(a_{0}+b_{0})\\ \end{array}

\displaystyle P_{1}(x)=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}

\displaystyle P_{2}(x)=\sum_{k=0}^{n}{b_{k}x^{k}}

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}S(x)&=&P_{1}(x)+P_{2}(x)\\ &=&\sum_{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}+\sum_{k=0}^{n}{b_{k}x^{k}}\\ &=&\sum_{k=0}^{n}{(a_{k}+b_{k})x^{k}}\end{array}

Exemples :

P_{1} (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 4 x + 5

P_{2} (x) = 2 x^{2} + x + 1

\begin{matrix} S (x) & = & P_{1} (x) & + & P_{2} (x) \\ = & (3 x^{3} - x^{2} + 4 x + 5) + (2 x^{2} + x + 1) \\ = & (3+0) x^{3} + (-1+2) x^{2} + (4+1) x + (5+1) \\ = & 3 x^{3} + x^{2} + 5 x + 6 \end{matrix}

P_{1} (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 2 x + 4

P_{2} (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 1

\begin{matrix} S (x) & = & P_{1} (x) & + & P_{2} (x) \\ = & (2 x^{4} - 3 x^{3} - x^{2} + 2 x + 4) + (x^{3} + 4 x^{2} - 3 x - 1) \\ = & (2+0) x^{4} + (-3+1) x^{3} + (-1+4) x^{2} + (2-3) x + (4-1) \\ = & 2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 3 \end{matrix}

jouons avec l'addition des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Multiplication

Multiplier deux polynômes revient à multiplier tous les éléments du premier polynôme par chaque élément du deuxième polynôme, puis en additionnant les coefficients des éléments de même puissance :

\displaystyle P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}

\displaystyle P_{2}(x)=b_{n}x^{n}+...+b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}P(x)&=&P_{1}(x)\times P_{2}(x)\\ &=&\left(a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)\times\left(b_{n}x^{n}+.% ..+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}\right)\\ &=&\left(a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)\times b_{n}x^{n}+...+% \left(a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)\times b_{2}x^{2}+\left(a_{% n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)\times b_{1}x+\left(a_{n}x^{n}+...+a% _{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\right)\times b_{0}\\ &=&(a_{n}b_{n})x^{n+n}+...+(a_{2}b_{n})x^{2+n}+(a_{1}b_{n})x^{1+n}+(a_{0}b_{n}% )x^{0+n}+...+(a_{n}b_{2})x^{n+2}+...+(a_{2}b_{2})x^{2+2}+(a_{1}b_{2})x^{1+2}+(% a_{0}b_{2})x^{0+2}\\ &&+(a_{n}b_{1})x^{n+1}+...+(a_{2}b_{1})x^{2+1}+(a_{1}b_{1})x^{1+1}+(a_{0}b_{1}% )x^{0+1}+(a_{n}b_{0})x^{n+0}+...+(a_{2}b_{0})x^{2+0}+(a_{1}b_{0})x^{1+0}+(a_{0% }b_{0})\\ &=&(a_{n}b_{n}x^{2n})+...+(a_{n}b_{2}+a_{2}b_{n})x^{n+2}+(a_{n}b_{1}+a_{1}b_{n% })x^{n+1}+(a_{n}b_{0}+a_{0}b_{n})x^{n}+...+(a_{2}b_{2})x^{4}+(a_{1}b_{2}+a_{2}% b_{1})x^{3}+(a_{1}b_{1})x^{2}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+a_{0}b_{0}\end{array}

Cela peut également s'écrire sous la forme :

\displaystyle P_{1}(x)=\sum_{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}}

\displaystyle P_{2}(x)=\sum_{k=0}^{m}{b_{k}x^{k}}

\displaystyle P(x)=P_{1}(x)\times P_{2}(x)=\sum_{k=0}^{n+m}{\left(\sum_{k=i+j}% {a_{i}b_{j}}\right)x^{k}}

Exemples :

P_{1} (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 4 x + 5

P_{2} (x) = x + 1

\begin{matrix} P (x) & = & P_{1} (x) & \times & P_{2} (x) \\ = & (3 x^{3} - x^{2} + 4 x + 5) \times (x + 1) \\ = & ((3)(1)) x^{4} + ((-1)(1)+(3)(1)) x^{3} + ((4)(1)+(-1)(1)) x^{2} + ((5)(1)+(4)(1)) x + ((5)(1)) \\ = & 3 x^{4} + 2 x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 5 \end{matrix}

P_{1} (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x + 4

P_{2} (x) = 2 x + 1

\begin{matrix} P (x) & = & P_{1} (x) & \times & P_{2} (x) \\ = & (2 x^{3} - x^{2} + 3 x + 4) \times (2 x + 1) \\ = & ((2)(2)) x^{4} + ((-1)(2)+(2)(1)) x^{3} + ((3)(2)+(-1)(1)) x^{2} + ((4)(2)+(3)(1)) x + ((4)(1)) \\ = & 4 x^{4} + 5 x^{2} + 11 x + 4 \end{matrix}

jouons avec la multiplication des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]

Division

Il s'agit d'adapter la division entière aux polynômes, on obtient un polynôme quotient et un polynôme reste.

Exemples :

Soit l'exemple de la division polynomiale : (x⁵-x⁴-x³+3x²-2x) ÷ (x²-x+1)

x⁵	-x⁴	-x³	+3x²	-2x		x²	-x	+1
-x⁵	+x⁴	-x³				x³
		-2x³	+3x²	-2x
		+2x³	-2x²	+2x			-2x
			+x²
			-x²	+x	-1			+1
				+x	-1

Le quotient est x³-2x+1 et le reste est x-1

On sélectionne le dividende x⁵-x⁴-x³, puis on cherche le quotient qui le divise par x²-x+1 et qui est x³
On multiplie x³ par x²-x+1 on soustrait ce produit de x⁵-x⁴-x³ et on obtient le reste -2x³
On prend le reste -2x³ . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne -2x³+3x²-2x, puis on cherche le quotient qui le divise par x²-x+1 et qui est -2x
On multiplie -2x par x²-x+1 on soustrait ce produit de -2x³+3x²-2x et on obtient le reste x²
On prend le reste x² . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne x², puis on cherche le quotient qui le divise par x²-x+1 et qui est 1
On multiplie 1 par x²-x+1 on soustrait ce produit de x² et on obtient le reste x-1

Vérification :

x⁵-x⁴-x³+3x²-2x	=	(x²-x+1) × (x³-2x+1) + (x-1)
	=	(x⁵-x⁴-x³+3x²-3x+1) + (x-1)
	=	x⁵-x⁴-x³+3x²-2x

Soit la division polynomiale : (x⁴+4x³+6x²+4x+1) ÷ (x+1)

x⁴	+4x³	+6x²	+4x	+1	x	+1
-x⁴	-x³				x³
	+3x³	+6x²
	-3x³	-3x²			3x²
		+3x²	+4x
		-3x²	-3x		3x
			+x	+1
			-x	-1		+1
				0

Le quotient est x³+3x²+3x+1 et le reste est 0

On sélectionne le dividende x⁴+4x³, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est x³
On multiplie x³ par x+1 on soustrait ce produit de x⁴+4x³ et on obtient le reste 3x³
On prend le reste 3x³ . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne 3x³+6x², puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est 3x²
On multiplie 3x² par x+1 on soustrait ce produit de 3x³+6x² et on obtient le reste 3x²
On prend le reste 3x² . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne 3x²+4x, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est 3x
On multiplie 3x par x+1 on soustrait ce produit de 3x²+4x et on obtient le reste x
On prend le reste x . puis complète avec la ou les puissances restantes du dividende afin de former un nouveau dividende divisible par le diviseur, ce qui donne x+1, puis on cherche le quotient qui le divise par x+1 et qui est 1
On multiplie 1 par x+1 on soustrait ce produit de x+1 et on obtient le reste 0

Vérification :

x⁴+4x³+6x²+4x+1	=	(x+1) × (x³+3x²+3x+1)
	=	x⁴+4x³+6x²+4x+1

jouons avec la division des polynômes

Prendre un papier et un crayon, puis demander

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