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Suites

Une histoire de lapins

On peut écrire le nombre de couple de lapins pour chaque étape ce qui donne U1=1, U2=1, U3=2, U4=3, U5=5, U6=8.
Cette histoire on la doit à Leonardo Fibonacci qui, en observant la croissance lapins chaque mois, en déduisit une suite connue sous le nom de suite de Fibonacci.
Cette suite peut être définie par :
{ n = 1 , U 1 = 1 n = 2 , U 2 = 1 n > 2 , U n = U n - 1 + U n - 2
Maintenant si on arrange les carrés de surface Un on obtient un rectangle dont la longueur est égale à à la largeur multipliée par environ 1,618. Cette valeur est une valeur approchée du nombre d'or nommé φ.
Enfin on construit un arc de cercle par carré, et on obtient une spirale qui est proche d ela spirale d'or construite à partir du nombre d'or.
La suite de Fibonacci peut ếtre également exprimée en fonction de n avec la formule de Binet trouvée par Moivre et démontrée par Euler.
Cette formule est :
U n = 1 5 ( φ n - ( - 1 φ ) n ) = 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) n - ( 1 - 5 2 ) n )
Ce qui donne pour les deux premières valeurs :
U 1 = 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) - ( 1 - 5 2 ) ) = 2 5 2 5 = 1
U 2 = 1 5 ( ( 1 + 5 2 ) 2 - ( 1 - 5 2 ) 2 ) = 1 5 ( 1 + 5 2 + 1 - 5 2 ) ( 1 + 5 2 - 1 - 5 2 ) = 1 5 ( 1 ) ( 5 ) = 1
Ce dernier calcul utilise une identité remarquable
Pour ceux qui aiment jouer, je propose de continuer les calculs de la suite avec cette formule.
Bon courage!!
Si on calcule le rapport entre Un et Un-1 lorsque n tend vers l'infini, on obtient φ :
lim n U n U n - 1 = lim n φ n - ( - 1 φ n ) φ n - 1 - ( - 1 φ n - 1 ) = lim n φ n φ n - 1 = φ

Fibonacci et Pascal

La suite de fibonacci est également liée au triangle de Pascal, la somme de chaque diagonale forme un élément de la suite de Fibonacci comme cela est représenté sur la figure (inspirée du site cité auparavant).

Un calcul de racine carrée

Très utilisée en informatique, c'est une suite par récurrence que l'on appelle Méthode de Héron ou babylonienne :
X n + 1 = 1 2 ( X n + a X n ) avec X0 le plus proche possible de √a. Cette suite tend vers √a.

Principe géométrique

En partant du fait que la racine carrée correspond au côté d'un carré. Cette méthode consiste à prendre un rectangle d'aire a averc un côté de longueur x et de largeur a∕x. On calcule par itération successive la nouvelle longueur côte en faisant la moyenne de la longueur et de la largeur x + a x 2 et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne un carré.

Prenons l'exemple de la racine carrée de 16

  1. Longueur X0=8, largeur 2, x 1 = 8 + 16 8 2 = 5
  2. Longueur X1=5, largeur 3,2, x 2 = 5 + 16 5 2 = 4 , 1
  3. Longueur X2=4,1, largeur 3,9, x 3 = 4 , 1 + 16 4 , 1 2 4
  4. Longueur X3=4, largeur 4, c'est terminé, le résultat est 4.
On remarque que l'on obtient la racine carrée en très peu d'itération. C'est ce qui fait que cette méthode est encore très utilisée.

Utilisation de la méthode de Newton

La Methode de Newton est une équation de récurrence de la forme x n + 1 = x n - f ( x n ) f ( x n ) qui permet de trouver une racine d'équations f(x)=0 sur un intervalle donné.
On va chercher à résoudre f ( x ) = x 2 - a = 0 avec la méthode de Newton.
Ce qui donne :
x n + 1 = x n - x n 2 - a 2 x n = 2 x n 2 - x n 2 + a 2 x n = x n 2 + a 2 x n = 1 2 ( x n + a x n )

Calcul sur ordinateur

On propose de calculer deux exmples de suites sur ordinateur soit avec un programme, soit avec un tableur pour ensuite comparer les résultats avec la valeur théorique. Les deux suites proposées donnent théoriquement le même résultat quelque soit le nombre d'itération n. A noter, que sur la majorité des calculatrices les calculs théoriques sont vérifiés, mais pas sur les ordinateurs quelque soit le logiciel utilisé (langage de programmation, logiciel mathématique).

{ U 0 = 0 , 1 U n + 1 = 1 - 9 U n

nValeur exacteOrdinateur
00.10.1
10.10.1
20.10.1
30.10.099999999999998
40.10.10000000000002
50.10.099999999999854
60.10.10000000000131
70.10.0999999999882
80.10.1000000001062
90.10.099999999044171
100.10.10000000860246
110.10.099999922577834
120.10.1000006967995
130.10.099993728804515
140.10.10005644075936
150.10.099492033165739
160.10.10457170150835
170.10.058854686424829
180.10.47030782217654
190.1-3.2327703995889
200.130.0949335963

{ U 0 = 0 , 7 U n + 1 = 10 U n - 6 , 3

nValeur exacteOrdinateur
00.70.7
10.70.7
20.70.7
30.70.70000000000002
40.70.7000000000002
50.70.70000000000197
60.70.70000000001974
70.70.70000000019737
80.70.70000000197373
90.70.7000000197373
100.70.70000019737298
110.70.70000197372982
120.70.70001973729822
130.70.70019737298216
140.70.70197372982156
150.70.71973729821556
160.70.89737298215558
170.72.6737298215558
180.720.437298215558
190.7198.07298215558
200.71974.4298215558

Ces différences s'expliquent par le fait que certains nombre n'ont pas de représentation finie en binaire, comme cela est expliqué avec la représentation des réels.

Suites arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite où la progression est réalisée par l'addition d'un nombre constant que l'on appelle raison.
Elle s'écrit : U n + 1 = U n + r ou bien en fonction de la valeur initiales U0 : U n + 1 = U 0 + n r .

La suite des nombres impairs citée en introduction est une suite arithmétique de raison 2 : { U 1 = 1 U n + 1 = U n + 2
Pour écrire cette suite en fonction de U1, il faut tenir compte qu'elle ne commence pas en 0 et ajouter le décalage dans l'expression :
{ U 1 = 1 U n = U 1 + ( n - 1 ) r U n = 1 + ( n - 1 ) 2 U n = 2 n - 1
La relation générale lorsque la suite commence à l'indice p est U n + 1 = U p + ( n - p ) r
Une suite arithmétique diverge si r ≠ 0, cela signifie que sa limite infinie tend vers l'infini. Plus précisément :
  • r est positif, la limite est +∞
  • r est négatif, la limite est -∞

Somme des termes

S n = k = 0 n U k = ( n + 1 ) 2 U 0 + n r 2
et si on retrouvait cette formule :
S n = U 0 + ( U 0 + r ) + ( U 0 + 2 r ) + + ( U 0 + n r ) S n = ( n + 1 ) U 0 + r + 2 r + + n r S n = ( n + 1 ) U 0 + r ( 1 + 2 + 3 + + n ) S n + S n = 2 ( n + 1 ) U 0 + r ( ( 1 + n ) + ( 2 + ( n - 1 ) ) + ( 3 + ( n - 2 ) ) + + ( n + 1 ) ) 2 S n = 2 ( n + 1 ) U 0 + r n ( n + 1 ) 2 S n = ( n + 1 ) ( 2 U 0 + r n ) S n = ( n + 1 ) 2 U 0 + n r 2
Appliquons cette formule à la somme sur n des entiers (U0=0 et r=1 )
S n = ( n + 1 ) n 2 = n ( n + 1 ) 2
S n = k = 0 n k = n ( n + 1 ) 2

Suites géométriques

Une suite géométrique est une suite où la progression est réalisée par la multiplication par une constante que l'on appelle également raison.
Elle s'écrit : { U 0 0 U n + 1 = q U n , elle peut également s'écrire en fonction de U0 et q : U n = q n U 0

Lorsque la suite commence à l'indice p, la relation devient U n = q ( n - p ) U p

Le comportement de cette suite dépend de la valeur de la raison q
  • q < -1, la suite est alternée, elle est positive et négative une fois sur deux, elle est divergente et elle n'a pas de limite infinie.
  • q = -1, la suite est alternée, et vaut deux valeurs qui sont U0 et -U0, elle est divergente et n'a pas de limite infinie.
  • -1 < q < 0, la suite est alternée, et converge vers 0
  • 0 < q < 1, la suite converge vers 0
  • q=1 : Un=U0 la suite est constante et vaut U0
  • q > 1, la suite diverge et possède une limite infinie qui dépend du signe de U0
    • U0 > 0, la limite est +∞
    • U0 < 0, la limite est -∞

Somme des termes

q=1 :
S n = k = 0 n q n U 0 = k = 0 n U 0 = ( n + 1 ) U 0
q ≠ 1 :
S n = k = 0 n q n U 0 = U 0 1 - q n + 1 1 - q
Cette dernière relation est expliquée sur la page suivante.

Suites arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique est une suite qui est une combinaison des suites arithmétiques et géométriques, dans ce cas on multiplie la valeur précédente par une constante (géométrique) puis on additionne une constante (arithmétique). Les suites précédentes { U 0 = 0 , 1 U n + 1 = 1 - 9 U n et { U 0 = 0 , 7 U n + 1 = 10 U n - 6 , 3 sont des suites arithmético-géométriques.

Cette suite s'écrit U n + 1 = a U n + b qui peut également s'écrire en fonction de U0 : { a 0 r = b 1 - a U n = a n ( U 0 - r ) + r , cette suite est constante si Un=r ∀ n ∈ ℕ.

Exemple :

Calcul des 20 premières itérations de la suite arithmético-géométrique en utlisant les formules : Un+1=aUn+b et Un=an(U0-r)+r
avec U0=1.7, a=7, b=-10.2
nUn+1=aUn+bUn=an(U0-r)+r
01.71.7
11.71.7
21.71.7
31.70000000000011.7
41.70000000000041.7
51.70000000000281.7
61.70000000001991.7
71.70000000013931.7
81.70000000097531.7
91.70000000682691.7
101.70000004778831.7
111.70000033451791.7
121.70000234162531.7
131.70001639137681.7
141.70011473963751.7
151.70080317746271.7
161.70562224223911.7
171.73935569567371.7
181.97548986971621.7
193.62842908801371.7
2015.1990036160961.7

jouons avec les calculs des suites sur ordinateur

On pourra réaliser un programme ou bien utiliser un tableur ou encore un logiciel de calcul

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