Calculs et fonctions

Calculs

Notation polonaise inverse

Nommée RPN pour "Reverse Polish Notation", cette méthode était implémentée dans les premières calculatrices comme par exemple la HP-35 qui utilise les algorithmes CORDIC pour le calcul des fonctions scientifiques. C'est une méthode de calcul d'expressions mathématiques qui ne fait pas appel aux parenthèses. Dans ce cas on saisit l'expression en entrant les différents nombres suivis des opérations en commençant par des valeurs. Par exemple, l'expression avec parenthèses $\displaystyle 2\times(3+4)$ devient $2\hookleftarrow 3\hookleftarrow 4+\times$ où $\hookleftarrow$ est le symbole qui représente la touche de validation de la calculatrice qui s'appelle quelques fois enter ou entrée. Pour jouer avec ce type de calculatrice, on trouve une application calculatrice RPN nommée RPNcalc pour smartphone et téléchargeable sur les plate-formes de téléchargement des smartphones.

Autres exemples :

3\hookleftarrow 4+2\times

correspond à

(3+4)*2

et vaut 14

2\hookleftarrow 3+4\hookleftarrow 5+\times

correspond à

(2+3)*(4+5)

et vaut 45.

3\hookleftarrow 1\hookleftarrow 2/\hat{}

correspond à

3^{1/2}=\sqrt{3}

3\hookleftarrow 2+2\hat{}2\hookleftarrow 1+2\hat{}+1\hookleftarrow 2/\hat{}

correspond à

\left((3+2)^{2}+(2+1)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=% \sqrt{34}

Tester ses expressions en notation polonaise inverse

Pour les opérations d'addition, soustraction, multiplication, division, puissance il faut utiliser les symboles +,-,*,/,^. Pour le symbole de validation $\hookleftarrow$ il faut utiliser le caractère 'e' ou 'E'. Pour les nombres décimaux, uniquement positifs, il faut utiliser le point à la place de la virgule.
L'expression $2\hookleftarrow 3\hookleftarrow 4+\times$ s'écrit : "2e3e4+*" et donne le résultat 14.

Saisir l'expression de calcul ainsi que le résultat du calcul de cette expression.

expression :
Résultat:

Priorités des opérateurs

Lorsqu'on écrit une expression contenant les opérateurs d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, il faut savoir que la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction, cela signifie que les opérations de multiplication et de division sont exécutées avant les opérations d'addition et de soustraction. Par contre il faut faire attention pour la multiplication et la division, cette vidéo de Mickaël Launay (micmaths) décrit cette situation. Sur cette calculatrice, $\displaystyle 6\div 2(1+2)=\frac{6}{6}=1$ car la calculatrice modifie l'expression en $\displaystyle 6\div(2(1+2))=\frac{6}{6}=1$ . Le même calcul avec la calculatrice d'un téléphone portable, l'expression est évaluée comme $\displaystyle(6\div 2)(1+2)=3\times 3=9$ . Afin d'éviter ce type d'erreur, il est conseillé d'utiliser des parenthèses pour lever tout ambiguité d'interprétation de l'expression.

Division entière

La division des calculatrices est une division réelle qui donne un quotient décimal avec le nombre avant la virgule qui est la partie entière et les chiffres après la virgule qui constituent la partie fractionnaire. Pour faire une division entière il faut utiliser une fonctionnalité particulière de la calculatrice. Dans le cas où cette fonctionnalité n'est pas présente, la division entière reste possible en partant de la division réelle. On utilise la relation de la division entière $\displaystyle A=B\times Q+R$ où A est le dividende, B le diviseur, Q le quotient et R le reste. Avec la calculatrice, on effectue la division réelle, puis on calcule le reste avec la relation $\displaystyle R=A-B\lfloor Q\rfloor$ où $\displaystyle\lfloor Q\rfloor$ est la partie entière du quotient de la division réelle effectuée auparavant.

Il ne faut pas oublier le domaine de définition, la division entière est définie dans ℕ^*

Dans le cas de dividende ou diviseur négatif (ensemble ℤ), le résultat de la division entière et le résultat du modulo peuvent ne pas vérifier la relation $\displaystyle A=B\times Q+R$ .
Exemple avec les fonctions Int÷ pour la division entière et Rmdr pour le modulo (reste de la division entière) :

(-17 Int÷ 5)*5+(-17 Rmdr 5)=-12 au lieu de -17
(-17 Int÷ -5)*(-5)+(-17 Rmdr -5)=-12 au lieu de -17

Fonctions mathématiques

Trigonométrie

Dans tout calcul incluant des fonctions de trigonométrie, il est important de ne pas oublier les intervalles d'application de ces fonctions. Les fonctions sinus et cosinus sont de période $\displaystyle 2\pi$ alors que la fonction tangente est définie entre $\displaystyle-\frac{\pi}{2}$ et $\displaystyle-\frac{\pi}{2}$ , ce qui se traduit par $\displaystyle\tan(\theta)=\tan(\theta+k\pi)$ .
Exemple pour le caclul de l'argument du nombre complexe $\displaystyle z=-1+i$ : $\displaystyle\theta=\arctan(-1)+k\pi$
La calculatrice va donner $\displaystyle\theta=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$ , il ne faut donc pas oublier de déterminer k en utilisant le signe de la partie réelle qui est -1 et qui permet de déduire que k vaut 1.
On déduit donc que l'argument de $\displaystyle z=-1+i$ est $\displaystyle\theta=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}$ .

Remarque :la méthode précédente fonctionne, mais on n'a pas précisé le domaine de définition de l'argument.

$\displaystyle\theta\in]-\pi,\pi]$ a positif et b positif : k=0, a négatif et b positif : k=1, a positif et b négatif : k=0, a négatif et b négatif : k=-1
$\displaystyle\theta\in[0,2\pi[$ a positif et b positif : k=0, a négatif et b positif : k=1, a positif et b négatif : k=2, a négatif et b négatif : k=1

Bien sûr, cette question ne se pose pas si on utilise la fonctionnalité de calcul de l'argument d'un nombre complexe, mais il est judicieux de ne pas l'oublier.
On peut trouver plus d'informations sur cette page wikipédia

Logarithme

Dans ce cas aussi, il ne faut pas oublier le domaine de définition de la fonction log (ln sur calculatrice) qui est $\displaystyle x\in]0,\infty]$ . Là, la calculatrice envoie bien un message d'erreur si la valeur à calculer est négative.
Il n'y a pas qu'un seul logarithme, on connaît déja le logarithme naturel (ln ou log), le logarithme décimal (log ou Log ou log₁₀), mais il existe d'autres bases logarithmiques. Si la calculatrice ne fournit pas de fonctionnalité pour un logarithme à base quelconque, il esiste une méthode pour calculer un logarithme à base quelconque : $\displaystyle\ln_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ .
On peut trouver plus d'informations sur cette page wikipédia.

Importance du domaine de définition
Le calcul d'un nombre réel négatif donne une erreur sur certaines calculatrices, ce qui est normal, car la fonction log est définie sur $\displaystyle x\in]0,\infty]$ , si on calcule le logarithme d'un nombre complexe, la calculatrice donne le résultat en utilisant la formule $\displaystyle\ln(z)=\ln(|z|)+\arg(z)i$ $\displaystyle z\in\mathrm{C}^{*}$ , comme par exemple : $\displaystyle\ln(1+i)=\ln(\sqrt{2})+\frac{\pi}{4}i$ Dans ce cas la calculatrice devrait savoir calculer $\displaystyle\ln(-1)$ et pourtant elle affiche une erreur car elle ne peut pas savoir si -1 est défini comme réel ou complexe. Si l'on veut calculer le logarithme des réels négatifs dans l'ensemble des complexes, il faut donc utiliser la définition du logarithme complexe car la calculatrice ne sait pas faire ce calcul.
Attention, tout de fois, certaines calculatrices font le calcul en considérant que les nombres sont des complexes, et donc $\displaystyle\ln(-1)$

Résolutions d'équations

Les calculatrices permettent de résoudre des équations uniquement dans $\displaystyle\mathrm{R}$ .
Certaines calculatrices proposent trois méthodes de résolution, d'autres les appliquent automatiquement en fonction de l'équation à résoudre, ces trois méthodes sont :

résolution de systèmes d'équations
résolution d'équations polynômiales
résolution d'équations qui utilisent des fonctions mathématiques, cette méthode, nommée en général solveur, utilise des méthodes de résolutions numériques comme la méthode de Newton qui nécessite de définir des paramètres comme l'intervalle de résolution

Exemple d'utilisation du solveur

Soit à résoudre l'équation $\displaystyle\cos(2\pi x)=0$ pour $\displaystyle x\in[0.5,1]$ , Le solveur donne la solution $\displaystyle x=0.75$ .

Jouer avec sa calculatrice

Calculer la formule des Babyloniens $\displaystyle\frac{3}{\frac{57}{60}+\frac{36}{60^{2}}}$
Calculer le début de la formule de Viète $\displaystyle 2\times\frac{2}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times% \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
Effectuer les divisions entières suivantes 60834÷216, 94663÷149, 93997÷762, il est possible de trouver d'autres exemples dans la page multiplications et divisions.
Proposer une expression de calcul de l'argument d'un nombre complexe $\displaystyle z=a+ib$ , en trouvant une méthode de calul de k de l'expression $\displaystyle\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+k\pi$ pour a différent de 0 et $\left\{\begin{array}[]{rcl}a=0&b>0&\theta=\frac{\pi}{2}\\ a=0&b<0&\theta=-\frac{\pi}{2}\\ \end{array}\right.$ .
Vérifier le résultat avec les nombres complexes suivants : $\displaystyle z=-5+3i$ , $\displaystyle z=6-7i$ , $\displaystyle z=-2\pi-3\pi i$ , $\displaystyle z=\sqrt{3}+i$
Proposer une méthode $\displaystyle y=signe(x)$ qui calcule du signe d'un nombre réel qui donne 1 si le nombre est positif et -1 si le nombre est négatif.
Donner l'expression qui calcule le logarihme des réels négatifs dans l'ensemble des complexes, $\displaystyle x\in\mathrm{C}^{*}$ , vérifier cette relation avec les réels compris entre -2 et -5.
En utilisant la fonctionnalité équation, résoudre l'équation du second degré $\displaystyle x^{2}-x-1=0$ , puis vérifier les résultats
En utilisant la fonctionnalité équation, résoudre l'équation du troisième degré $\displaystyle 2x^{3}-11x^{2}+17x-6=0$ , puis vérifier les résultats
En utilisant la fonctionalité équation, résoudre l'équation suivante $\displaystyle 1-0.2*x-\cos(2\pi x)=0$ sur l'intervalle $\displaystyle x\in[0.5,1]$ puis vérifier le résultat.
En utilisant la fonctionalité équation, résoudre l'équation suivante $\displaystyle e^{-0.2*x}-\cos(2\pi x)=0$ sur l'intervalle $\displaystyle x\in[0.5,1]$ puis vérifier le résultat.

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