Calcul des racines

Avertissement

En mathématique, les nombres s'expriment avec des expressions qui contiennent des quotients , des racines carrées, ... qui représentent les valeurs exactes. Le calcul numérique donne toujours des valeurs approchées. Ce qui fait que les exemples et exercices donneront toujours des valeurs décimales approchées. Afin de vérifier les résultats le lecteur devra effectuer le calcul de la valeur approchée du résultat final, en respectant le fait que l'on ne fait jamais de calculs intermédiaires approchés.

Définitions

Les racines d'un polynôme correspondent aux valeurs de la variable x qui annulent de polynôme, c'est à dire qui donne un résultat nul.
On dit également que les racines sont solution de l'équation P(x)=0. Le calcul des racines permet de factoriser un polynôme.

Le nombre maximal de racines est égal au degré du polynôme. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes. La méthode de résolution de l'équation P(x)=0 dépend du degré du polynôme.

Tout polynôme réel de dégré impair admet au moins une racine réelle.

Nous nous intéresserons aux équations de degrés 1 et 2, et aborderons le degré 3.

Degré 1

Une équation polynômiale de degré 1 ou du premier degré est de la forme : $P(x)=ax+b=0$ avec $a\ne 0$ .

Il existe une solution réelle de la forme : $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$

Résolution :

$ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$

Exemples :

jouons avec les racines

Prendre un papier et un crayon, puis demander une équation

Degré 2

Une équation polynômiale de degré 2 ou du deuxième degré est de la forme : $P(x)=a{x}^2+bx+c=0$ avec $a\ne 0$.

Les solutions possibles dépendent de l'ensemble dans lequel on résoud cette équation :

• dans ℝ, on a soit deux racines réelles, soit une racine réelle double soit pas de solution
• dans ℂ, on a soit une récines réelle double, soit deux racines réelles, soit deux racines complexes conjuguées.

Résolution :

Le type de solution est déterminé par le résultat d'un premier calcul, le discriminant qui vaut : $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ :

• dans ℝ ou ℂ avec un
  • discriminant positif, deux racines réelles : $x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$, que l'on peut résumer sous la forme : $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\mp \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.
  • discriminant nul, une racine réelle double : $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ , ce qui est logique car le discriminant est nul.
• dans ℝ avec un discriminant négatif : pas de solution réelle.
• dans ℂ avec discriminant négatif : deux racines complexes conjuguées qui sont $x_1={\displaystyle \frac{-b-i\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{-b+i\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$, ou sous la forme : $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\mp i\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.

Remarque

On peut simplifier les calculs si le coefficient b est pair.
Le calcul du discrimant devient :

ce qui permet de calculer les racines en fonction de ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$ avec $b^{\prime }={\displaystyle \frac{b}{2}}$.
Les racines réelles deviennent $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\mp \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$, la racine double devient $x_0={\displaystyle \frac{-b^{\prime }}{a}}$ et les racines complexes conjuguées deviennent $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b^{\prime }\mp i\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}}{a}}$.

Factorisation dans ℝ :

Les racines permettent d'obtenir le polynôme sous la forme d'un produit de deux polynômes de degré 1 dans ℝ :
$P(x)=a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ dans le cas de deux racines réelles ou $P(x)=a{x}^2+bx+c=a{(x-x_0)}^2$ dans le cas d'une racine double.

Exemples :

jouons avec les racines

Prendre un papier et un crayon, puis demander une équation

Degré 3

Une équation polynômiale de degré 3 ou du troisième degré est de la forme : $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ avec $a\ne 0$. Ce type d'équation admet au moins une racine réelle avec soit :

• Une autre racine réelle double
• Deux autres racines réelles
• Deux autres racines complexes conjuguées

Cela s'explique par le fait qu'un polynôme de degré 3 est le produit d'un polynôme de degré 2 par un polynôme de degré 1.

Résolution :

La méthode de Cardan est une des méthodes qui permet de résoudre les équations de degré 3. Ici nous en resterons aux équations qui possèdent une racine évidente comme -2,-1,0,1,2, ... . Ensuite on cherchera le polynôme restant soit par division polynômiale ou soit par développement et comparaison. En prenant comme racine évidente -w, on obtient le système :

Application numérique :

Factorisation dans ℝ :

Les racines réelles permettent d'obtenir le polynôme sous la forme d'un produit de trois polynômes de degré 1 dans ℝ

ou bien 1 polynôme de degré 1 et un autre polynôme de degré 1 au carré ou encore un polynôme de degré 1 au cube

Exemples :

jouons avec les racines

Prendre un papier et un crayon, puis demander une équation

Le nombre d'or

Considérons l'équation $p(x)=x^2-x-1=0$ , ce qui donne deux racines réelles :

et On remarque que $x_2=-{\displaystyle \frac{1}{x_1}}$.
x₁ est le nombre d'or φ, on a donc

Définition d'Euclide

"Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est au plus petit".

Représentation géométrique

Le rectangle d'or

La spirale d'or