Une équation du premier degré est définie par l'égalité de la forme
Les expressions de chaque côté de l'égalité s'appellent les membres de l'égalité.
Résoudre cette équation consiste à trouver la ou les valeurs de x qui respectent cette égalité.
Pour ce faire, il suffit d'appliquer les règles suivantes :
Ajouter ou soustraire une même valeur aux deux membres de l'égalité ne modifie pas l'égalité
Multiplier chaque membre de l'égalité par une valeur ne modifie pas l'égalité
Diviser chaque membre de l'égalité par une valeur non nulle ne modifie pas l'égalité
Résolution
Avec ces règles les étapes de la résolution deviennent :
,
on ajoute -b à chaque membre de l'équation
,
on ajoute -cx à chaque membre de l'équation
1er cas où a ≠ c qui fait que a-c ≠ 0
,
on divise les deux membres par c-a
2ème cas où a = c qui fait que a-c = 0
Si d-b = 0, on obtient 0=0, l'équation est toujours vraie ∀ x ∈ ℝ, on a donc une infinité de solution
Si d-b ≠ 0, l'équation est toujours fausse ∀ x ∈ ℝ, il n'y a pas de solution
Exemples
Résoudre
Résoudre
Résoudre
Résoudre
Il n'y a pas de solution
Jouons avec les équations
Prendre un papier et un crayon, puis demander
Solution [ Voir ]
Inéquations
Définition
Une inéquation du premier degré utilise les opérateurs d'inégalités (> < ≥ ≤) et est de la forme :
Résoudre cette inéquation consiste à trouver la ou les valeurs de x qui respectent cette inégalité.
Pour ce faire, il suffit d'appliquer les règles suivantes :
Ajouter ou soustraire une même valeur aux deux membres de l'inégalité ne modifie pas l'inégalité
Multiplier chaque membre de l'inégalité par une valeur positive ne modifie pas l'inégalité
Diviser chaque membre de l'inégalité par une valeur positive et non nulle ne modifie pas l'inégalité
Multiplier chaque membre de l'inégalité par une valeur négative inverse le sens de l'inégalité
Diviser chaque membre de l'inégalité par une valeur négative et non nulle inverse le sens de l'inégalité
Résolution
Dans le cas d'une inégalité stricte, on a
,
on ajoute -b à chaque membre de l'équation
,
on ajoute -cx à chaque membre de l'équation
1er cas où a > c qui fait que a-c > 0
,
on divise les deux membres par c-a
2ème cas où a < c qui fait que a-c < 0
,
on divise les deux membres par c-a et on change le sens de l'inégalité
3ème cas où a = c qui fait que a-c = 0
Si d-b = 0, on obtient 0 < 0, l'équation est toujours fausse ∀ x ∈ ℝ, il n'y a pas de solution
Si d-b ≠ 0, on obtient 0 < d-b, l'équation est vraie ∀ x ∈ ℝ si d-b > 0, dans ce cas il y a une infinité de solution sinon si d-b ≤ 0, il n'y a pas de solution
Dans le cas d'une inégalité avec égalité, on a
,
on ajoute -b à chaque membre de l'équation
,
on ajoute -cx à chaque membre de l'équation
1er cas où a > c qui fait que a-c > 0
,
on divise les deux membres par c-a
2ème cas où a < c qui fait que a-c < 0
,
on divise les deux membres par c-a et on change le sens de l'inégalité
3ème cas où a = c qui fait que a-c = 0
Si d-b = 0, on obtient 0 ≤ 0, l'équation est toujours vraie ∀ x ∈ ℝ, il n'y a une infinité de solutions
Si d-b ≠ 0, on obtient 0 ≤ d-b, l'équation est vraie ∀ x ∈ ℝ si d-b ≥ 0, dans ce cas il y a une infinité de solution sinon si d-b < 0, il n'y a pas de solution
On peut appliquer le même raisonnement et adapter les résultats dans le cas supérieur et supérieur ou égal.