Les nombres réels

Les nombres décimaux sont des nombres à virgules qui correspondent à une valeur exacte, c'est à dire avec un nombre de chiffres après la virgule dénombrable L'ensembles des nombres décimaux est noté ⅅ, qui peut être défini en compréhension : $D=\{{\displaystyle \frac{n}{{10}^p}},n\in \mathbb{Z},p\in \mathbb{N}\}$, qui signifie qu'un nombre décimal est un nombre relatif divisé par une puissance entière de 10.

Dans cet ensemble ⅅ, on peut :

• additionner deux nombres décimaux, le résultat est un nombre décimal.
• soustraire deux nombres décimaux, le résultat est un nombre décimal.
• multiplier deux nombres décimaux, le résultat est un nombre décimal.
• diviser deux nombres décimaux,le résultat n'est pas forcément un nombre décimal

Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers relatifs. Contrairement au nombre décimal, un nombre rationnel peut avoir une infinité de chiffres après la virgule. L'ensemble des nombre rationnels est noté ℚ, qui peut être également défini en compréhension : $\mathbb{Q}=\left\{{\displaystyle \frac{m}{n}}\right|(m,n)\in \mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}^{*}\}$, qui signifie qu'un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs avec l'entier relatif du dénomiteur non nul. La syntaxe utilisée est celle d'un couple d'entiers relatifs qui appartient au produit cartésien des ensembles ℤ et ℤ^*, ce dernier peut être également écrit sous la forme ℤ\{0} (ensemble ℤ privé de la valeur 0).

Les opérations effectuées dans cet ensemble sont identiques aux opérations effectuées sur les fractions en respectant les règles des signes des entiers relatifs.

Le développement décimal, qui correspond à l'écriture d'un nombre à l'aide de puissances de 10 positives ou négatives, est périodique. Cette règle est réciproque, un nombre avec un développement décimal periodique est un nombre rationnel.

Les nombres réels incluent les nombres rationnels ainsi que les nombre irrationnels. Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'un quotient d'entiers relatifs. L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.
Il n'y a pas de période pour les chiffres après la virgule. Ces nombres sont des racines d'un polynôme.

La racine carrée de certains nombres comme √2, √5 sont des nombres irrationnels.

Dans cet ensemble on trouve également les nombres transcendants comme les nombres les plus connus : π et e qui est une base de l'exponentielle. Ces nombres ne sont racines d'aucun polynôme

On peut également voir cette émission sur arte.tv (également sur la canal 77 de la TNT via le wifi) ou bien sur sa chaîne youtube

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