Fonction logarithmique

Définition

La fonction logarithme naturel est une bijection réciproque de la fonction exponentielle. Le logarithme naturel est noté ln ou bien log (log étant quelques fois réservé au logarithme décimal).
A l'inverse de la fonction exponentielle, il transforme un produit en somme : $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$ c'est cette propriété qui est utilisé dans la règle à calcul pour effectuer le produit de deux nombre en utilisant la translation d'échelle logarithmique.

Etude de la fonction

$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$

La fonction est définie de ℝ^*₊ vers ℝ
Limites :

$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=<mn>-\infty </mn>$

$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=<mn>+\infty </mn>$

Dérivée :

$f\text{'}(x)=\frac{1}{\exp \left(\ln \right(x\left)\right)}=\frac{1}{x}$

on a utilisé la dérivée de la composée avec la réciproque

Tableau de variations

x	-∞		+∞
f '(x)		+
f(x)	-∞	↗	+∞

Courbe :

Le logarithme de base a

Comme pour l'exponentielle, il existe différentes bases logarithmiques qui sont les reciproques des exponentielles de base a. On peut calculer le logarithme de base a à partir du logarithme naturel avec la relation : ${\ln }_a(x)={\displaystyle \frac{\ln (x)}{\ln (a)}}$ Il existe deux bases qui sont très utilisées, le logarithme à base 10 noté log₁₀ ou Log avec un L majuscule qui est utilisé en physique (son, radio, ...) et le logarithme à base 2 noté log₂ utilisé dans les technologies du numérique.