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Primitives et intégration

Primitives

Une fonction est une primitive F(x) d'une fonction f(x) est définie telle que F'(x)=f(x), c'est à dire que F(x) est une primitive de f(x) si et seulement si f(x) est la dérivée de F(x).

La dérivée d'une valeur constante (indépendante de la variable) est 0, ce sui fait que F(x)+C et F(x), donne la même dérivée F'(x)=f(x). Ceci permet donc de déduire qu'une fonction n'a pas qu'une seule primitive, mais un ensemble de primitives définiées à une constante près. L'ensemble des primitives d'une fonction f(x) s'écrit donc F(x)+C avec F'(x)=f(x).

La primitive uilise le symbole ∫ ce qui donne l'expression de calcul des primitives : F ( x ) = f ( x ) 𝑑 x + C

Comme pour la dérivée la primitive d'une somme est la somme des primitives, mais la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives, dans ce cas il faut modifier la fonction pour la transformer en sommes.

Quelques formules de primitives

a n x n 𝑑 x = a n x n 𝑑 x = a n x n + 1 n + 1 + C avec n ≥ 0
1 x 𝑑 x = log ( x ) + C avec x > 0
exp ( x ) 𝑑 x = exp ( x ) + C
cos ( x ) 𝑑 x = sin ( x ) + C
sin ( x ) 𝑑 x = - cos ( x ) + C

Intégrales

Une intégrale permet de calculer l'aire délimitée par une fonction et l'axe des absisses sur un interval donné ([a,b]) ou encore la valeur moyenne d'une fonction périodique sur une période. Le calcul de l'intégrale ou intégration utilise le calcul de la primitive, où la valeur de la constante est en générale liée à la condtion initiale qui correspond à la valeur du résultat au début de l'interval.

Le calcul s'écrit sous la forme : a b f ( x ) 𝑑 x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) - F ( a ) F(x) est la primitive de constante nulle.

On peut remarquer que l'inversion des bornes inverse le signe du résultat : b a f ( x ) 𝑑 x = [ F ( x ) ] b a = F ( b ) - F ( a ) = - a b f ( x ) 𝑑 x

Calcul de l'aire

Le calcul ci-dessus donne l'aire A comprise entre la fonction f(x) et l'axe des abscises sur l'interval [a,b].
Attention, l'aire est signée l'aire au dessus de l'axe des abscisses est positive et l'aire en dessous de l'axe des abscisses est négative.

Exemples

On propose de calculer l'aire de la fonction : f ( x ) = x 2 - 1 sur l'interval [2,6]
A = 2 6 ( x 2 - 1 ) 𝑑 x A = [ x 2 4 - x ] 2 6 A = ( 36 4 - 6 ) - ( 4 4 - 2 ) A = 4
L'aire est celle d'un triangle de hauteur f(b) et de base b-a, l'aire vaut donc :
A = b × h 2 = ( b - a ) f ( b ) 2 = 4
On propose de calculer l'aire de la fonction : f ( x ) = x 2 sur l'interval [2,6]
A = 2 6 ( x 2 ) 𝑑 x A = [ x 2 4 ] 2 6 A = ( 36 4 ) - ( 4 4 ) A = 8
L'aire est celle d'un trapèze de grande base f(b), petite base f(a) et de hauteur b-a, l'air vaut donc :
A = ( f ( b ) + f ( a ) ) × ( b - a ) 2 = 8
On propose de calculer l'aire de la fonction : f ( x ) = x 2 10 sur l'interval [2,6]
A = 2 6 ( x 2 10 ) 𝑑 x A = [ x 3 30 ] 2 6 A = ( 216 30 ) - ( 8 30 ) A = 208 30 6 , 9
L'aire est inférieure à celle du trapèze de grande base f(b), petite base f(a) et de hauteur b-a, qui vaut :
S = ( f ( a ) + f ( b ) ) ( b - a ) 2 = ( 0 , 4 + 3 , 6 ) ( 4 ) 2 = 8
On propose de calculer l'aire de la fonction : f ( x ) = x 2 10 - 3 2 sur l'interval [2,6]
A = 2 6 ( x 2 10 - 3 2 ) 𝑑 x A = [ x 3 30 - 3 x 2 ] 2 6 A = ( 216 30 - 18 2 ) - ( 8 30 - 6 2 ) A = 208 30 - 6 = 28 30 0 , 9
L'aire est inférieure à la différences de l'aire du triangle x1bf(b) et du triangle x1af(a) qui vaut :
S = ( b - x 1 ) f ( b ) 2 - ( x 1 - a ) | f ( a ) | 2 = ( 6 - 15 ) 21 10 2 - ( 15 - 2 ) 11 10 2 = 1 2 ( - 32 15 10 + 148 10 ) = - 8 15 + 37 5 1 , 2

Calcul de la valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction périodique (pas forcément sinusoïdale) sur la période est exprimée par la relation : Y m o y = 1 2 π 0 2 π f ( x ) 𝑑 x

La valeur moyenne des fonctions cosinus et sinus est nulle

Y m o y = 1 2 π 0 2 π c o s ( x ) 𝑑 x = 1 2 π [ s i n ( x ) ] 0 2 π = 1 2 π ( sin ( 2 π ) - sin ( 0 ) ) = 0
Y m o y = 1 2 π 0 2 π s i n ( x ) 𝑑 x = 1 2 π [ - c o s ( x ) ] 0 2 π = 1 2 π ( - cos ( 2 π ) + cos ( 0 ) ) = 0

Exemples

On propose de calculer la valeur moyenne de la fonction f ( x ) = | s i n ( x ) |
Y m o y = 1 2 π 0 2 π | sin ( x ) | 𝑑 x = 1 2 π ( 0 π sin ( x ) 𝑑 x - π 2 π sin ( x ) 𝑑 x ) = 1 π 0 π sin ( x ) 𝑑 x = 1 π [ - cos ( x ) ] 0 π = 1 π ( - cos ( π ) + cos ( 0 ) ) = 2 π
On propose de calculer la valeur moyenne de la fonction f ( x ) = cos 2 ( x )
Y m o y = 1 2 π 0 2 π cos 2 ( x ) 𝑑 x = 1 2 π 0 2 π ( 1 + cos ( 2 x ) 2 ) 𝑑 x = 1 2 π ( 0 2 π 1 2 𝑑 x + 0 2 π cos ( 2 x ) 2 𝑑 x ) = 1 4 π ( 0 2 π 𝑑 x + 0 2 π cos ( 2 x ) 𝑑 x ) = 1 4 π [ x ] 0 2 π = 1 2
On propose de calculer la valeur moyenne de la fonction définie par { 0 x < π f ( x ) = 1 π x < 2 π f ( x ) = 0
Y m o y = 1 2 π 0 2 π f ( x ) 𝑑 x = 1 2 π 0 π 𝑑 x = 1 2 π [ x ] 0 π = 1 2
On propose de calculer la valeur moyenne de la fonction définie par { 0 x < π f ( x ) = 3 π x < 2 π f ( x ) = - 1
Y m o y = 1 2 π ( 0 π 3 𝑑 x - π 2 π 𝑑 x ) = 1 2 π ( [ 3 x ] 0 π - [ x ] π 2 π ) = 1 2 π ( 3 π - π ) = 1