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Limite et dérivée

Limite

Définitions

La limite permet d'estimer la tendance d'une fonction lorsque la variable s'approche des bords du domaine de définition. En général on trouve les limites en ± ∞.
Cette limite se note : lim x + f ( x ) ou lim x - f ( x ) . D'une manière générale la limite se note lim x x 0 f ( x ) et dans le cas où la limite en x0 n'est pas identique selon que l'on soit inférieur ou supérieur à x0, on calcule une limite à gauche lim x x 0 - f ( x ) et une limite à droite lim x x 0 + f ( x ) .
Le résultat peut être une valeur, dans ce cas on a une limite finie, ou bien infinie, dans ce cas on a une limite infinie.

Fonction polynômiale

On considère la fonction polynomiale de degré n : p ( x ) = a n x n + . a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 .
Toute valeur de x réel peut être calculée avec cette fonction, le domaine de définition d'une fonction polynômiale est donc ℝ, les bords sont donc ± ∞. Pour calculer cette limite, on peut modifier le polynôme p(x) dans le cas ou x ≠ 0, ce qui donne

p ( x ) = a n x n ( 1 + + a 3 x 3 a n x n + a 2 x 2 a n x n + a 1 x a n x n + a 0 a n x n )
Il est facile de déduire lim x + x n = + car un grand nombre à la puissance n donne encore un plus grand nombre et lim x + 1 x n = 0 car 1 divisé par un très grand nombre donne un nombre proche de 0.
Ceci nous permet de déduire :
lim x + p ( x ) = lim x + a n x n ( 1 + + a 3 x 3 a n x n + a 2 x 2 a n x n + a 1 x a n x n + a 0 a n x n ) = lim x + a n x n ( 1 + + 0 + 0 + 0 ) = lim x + a n x n
La valeur de cette limite est +∞ si an est supérieur à 0 et -∞ si an est inférieur à 0.
en -∞ c'est un peu différent, car le signe de xn dépend de la parité de n. Ce qui fait que si n est pair on a le même résultat que pour +∞ et pour n impair on a le signe opposé. Tout ceci se traduit par :
{ a n > 0 lim x + p ( x ) = lim x + a n x n = + a n < 0 lim x + p ( x ) = lim x + a n x n = -
n est pair
{ a n > 0 lim x - p ( x ) = lim x - a n x n = + a n < 0 lim x - p ( x ) = lim x - a n x n = -
n est impair
{ a n > 0 lim x - p ( x ) = lim x - a n x n = - a n < 0 lim x - p ( x ) = lim x - a n x n = +

Dérivée

Définitions

La dérivée d'une fonction mesure les variations de cette fonction. La dérivée d'une fonction est une fonction qui permet de mesurer cette variation en tout point de la fonction. La dérivée est exprimée par rapport à la variable de la fonction et est notée : ƒ '(x) ou encore d f d x ( x ) ou bien encore f ˙ ( x )
Le fait que la dérivée représente une variation, on peut définir la dérivée comme la limite vers une variation infinitésimale : f ( x ) = lim h 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

Quelques propriétés :
La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
La dérivée d'une fonction multipliée par un coefficient constant est la dérivée de la fonction multipliée par ce coefficient.
plus généralement : ( a f ( x ) + b g ( x ) ) = a f ( x ) + b g ( x ) .

Fonction polynômiale

Calculons la dérivée de l'élément de base du polynôme de degré 2 : x2 en appliquant cette limite :

f ( x ) = lim h 0 ( x + h ) 2 - x 2 h = lim h 0 x 2 + 2 h x + h 2 - x 2 h = lim h 0 2 h x + h 2 h = lim h 0 h ( 2 x + h ) h = lim h 0 2 x = 2 x

Et si on jouait à généraliser ce calcul pour f(x)=xn :

f ( x ) = lim h 0 ( x + h ) n - x n h = lim h 0 k = 0 n ( n k ) h k x n - k - x n h = lim h 0 x n + k = 1 n ( n k ) h k x n - k - x n h = lim h 0 x n + h k = 1 n ( n k ) h k - 1 x n - k - x n h = lim h 0 k = 1 n ( n k ) h k - 1 x n - k = lim h 0 ( n x n - 1 + h k = 2 n ( n k ) h k - 2 x n - k ) = n x n - 1
Pour faire ce calcul et développer (x+h)n on a utilisé la formule du binôme de Newton que je vous laisse découvrir.

En appliquant tous les calculs précédents, on peut déduire la dérivée de p(x)

si p ( x ) = a n x n + + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
alors p ( x ) = n a n x n - 1 + + 3 a 3 x 2 + 2 a 2 x + a 1

Formules de dérivations

On commence par la dérivée d'une composition de fonctions définie par ( g f ) ( x ) = ( g ( x ) f ( x ) ) f ( x ) . Prenons un exemple avec f ( x ) = x - 1 et g ( x ) = x 2 qui donnent ( g f ) ( x ) = ( x - 1 ) 2 , la dérivée vaut ( ( x - 1 ) 2 ) = ( 2 ( x - 1 ) ) ( 1 ) = 2 ( x - 1 ) . Comme pour la puissance dans un polynôme, on peut généraliser cette formule à l'ordre n.

On peut utiliser la composition pour calculer la dérivée d'une fonction (bijection) réciproque en fonction de la fonction directe en prenant f(x) pour la réciproque et -1(x) pour la fonction directe :
f : A B x f ( x ) et f - 1 : B A x f - 1 ( x )
Cela donne :
( f f - 1 ) ( x ) = x ( f f - 1 ) ( x ) = 1 ( f ( x ) f - 1 ( x ) ) f - 1 ( x ) = 1 f - 1 ( x ) = 1 f ( x ) f - 1 ( x )
Cette méthode permet de calculer les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.

Quelques formules de dérivées

On suppose que les fonctions f et g sont dérivables sur le domaine de définition.
( f n ( x ) ) = n f n - 1 ( x ) f ( x )
( f ( x ) g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x )
( 1 f ( x ) ) = ( f - 1 ( x ) ) = ( - 1 ) f - 1 - 1 f ( x ) = - f ( x ) f 2 ( x ) à condition de f(x) ne s'annule pas sur le domaine de définition.
( f ( x ) g ( x ) ) = ( f ( x ) 1 g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) g 2 ( x ) = f ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ( x ) g 2 ( x ) à condition que g(x) ne s'annule pas sur le domaine de définition.

Exemples

Calcul de la dérivée de f(x)=(x+2)4
  1. Utilisation de la dérivée d'une fonction élevée à une puissance n, puis développement du résultat
    f'(x)=((x+2)4)'=4(1)(x+2)3 =4x3+24x2+48x+32
  2. Développement de la fonction élevée à une puissance en utilisant le binôme de Newton
    f(x)=(x+2)4=(1)×(2(4-4))x4+(4)×(2(4-3))x3+(6)×(2(4-2))x2+(4)×(2(4-1))x+(1)×(2(4-0))=x4+8x3+24x2+32x+16
    Puis calcul de la dérivée de la forme développée
    f'(x)=(x4+8x3+24x2+32x+16)'=4x3+24x2+48x+32
Calcul de la dérivée de f(x)=(x-3)3
  1. Utilisation de la dérivée d'une fonction élevée à une puissance n, puis développement du résultat
    f'(x)=((x-3)3)'=3(1)(x-3)2 =3x2-18x+27
  2. Développement de la fonction élevée à une puissance en utilisant le binôme de Newton
    f(x)=(x-3)3=(1)×(-3(3-3))x3+(3)×(-3(3-2))x2+(3)×(-3(3-1))x+(1)×(-3(3-0))=x3-9x2+27x-27
    Puis calcul de la dérivée de la forme développée
    f'(x)=(x3-9x2+27x-27)'=3x2-18x+27

jouons avec les dérivées des puissances

Prendre un papier et un crayon, puis demander

Solution [ Voir ]