Chaque équation représente l'équation d'une droite dans le plan. Le point d'intersection de ces droites, s'il existe, représente la solution de ce système d'équations.
Exemples
Ce système donne les équations des droites
et
Le point d'intersection d'abscisse x=1 et d'ordonnée y=2 représente la solution de ce système d'équations.
Ce système donne les équations des droites
et
qui sont parallèles. Le coefficient directeur a=2/3 est identique pour les deux droites.
Il n'existe aucun point d'intersection, ce système n'admet pas de solutions.
Ce système donne les équations des droites
et
qui sont confondues
Chaque point de la première droite appartient à la deuxième droite, la solution est donc l'ensemble des points de la droite, on a donc une infinité de solutions.
Méthodes de résolutions algébriques
Résolution par substitution
On extrait y de la deuxième équation, puis on remplace y par l'expression calculée dans la première équation.
On obtient une équation avec une seule inconnue x. On résout cette équation pour obtenir la valeur de x.
Enfin on remplace la valeur de x dans la deuxième équation afin de calculer y.
Reprenons les exemples précédents
On extrait l'expression de y dans la deuxième équation, on obtient alors le système :
On remplace y de la première équation par son expression calculée à partir de la deuxième équation :
On retrouve la solution graphique précédente avec x=1 et y=2.
On extrait l'expression de y dans la deuxième équation, on obtient alors le système :
On remplace y de la première équation par son expression calculée à partir de la deuxième équation :
La première équation est impossible, il n'y a pas de solution. On retrouve bien la solution graphique précédente.
On extrait l'expression de y dans la deuxième équation, on obtient alors le système :
On remplace y de la première équation par son expression calculée à partir de la deuxième équation :
La première équation est toujours vraie quelque soit la valeur de x, on a donc une infinité de solutions qui respectent la deuxième équation. On retrouve également la solution précédente.
Résolution par combinaisons linéaires et éliminations
On remplace chaque équation par une combinaison linéaire des deux équations de façon à annuler le coefficient de y pour la première équation et le coefficient de x pour la deuxième ligne.
On obtient deux équations, la première qui permet de calculer la valeur de x et la deuxième qui permet de calculer la valeur de y.
On remplace la première ligne L1 par la combinaison linéaire : L1=L1-L2 et la deuxième ligne L2 par L2=L2-2L1, ce qui donne :
On retrouve la solution graphique précédente avec x=1 et y=2.
Les coefficients de x et y sont identiques dans chaque équation, on a une seule combinaison linéaire L1=L2=L1-L2.
il n'y a pas de solution. On retrouve bien la solution graphique précédente.
Les coefficients de x et y sont identiques dans chaque équation, les deuxièmes membres sont également identiques la deuxième ligne est une combinaison linéaire de la première L2=2L1.
On a une équation toujours vraie, il y a donc une infinité de solutions qui respectent les deux équations. On retrouve également la solution graphique précédente.
Résolution par calcul de déterminant
Cette méthode fait référence à la méthode de Cramer. En l'utilisant l'expression générale du système d'équations :
On calcule un déterminant général ainsi qu'un déterminant relatif à chaque variable x et y
Calcul du déterminant général
Calcul du déterminant relatif à la variable x, on remplace les coefficents de la variable x par les valeurs des deuxièmes membres des équations.
Calcul du déterminant relatif à la variable y, on remplace les coefficents de la variable y par les valeurs des deuxièmes membres des équations.
Les valeurs de x et y se calculent à partir de ces déterminants :
et
On a donc une solution si D≠0, dans le cas où D=0, si Dx=0 et Dy=0 il y a une infinité de solutions, ou si Dx≠0 ou Dy≠0,il n'y a pas de solution.
On retrouve la solution graphique précédente avec x=1 et y=2.
et
Le déterminant général est nul, les déterminants Dx et Dy ne sont pas nuls, il n'y a pas de solution. On retrouve bien la solution graphique précédente.
et
Le déterminant général est nul, les déterminants Dx et Dy le sont également, il n'y a une infinité de solutions. On retrouve bien la solution graphique précédente.
Comparaison des méthodes
On va étudier la résolution générale de ce système à l'aide des trois méthodes algébriques.
On prend l'expression générale de ce système :
La solution avec la méthode de Cramer a déjà été donnée auparavant, on va étudier la résolution générale avec les deux autres méthodes.
Méthode de substitution
On exprime y en fonction de x dans la deuxième équation :
On remplace y par son expression dans la première équation :
On évalue x puis on remplace x par sa valeur dans l'expression de y :
On retrouve les résultats obtenus avec la méthode de Cramer.
Méthode de combinaison et éliminations
On va éliminer le coefficient de y dans la première ligne et le coefficient de x dans la deuxième équation :
ce qui donne les expressions de x et y :
On retrouve les résultats obtenus avec la méthode de Cramer.
Toutes ces méthodes fournissent les mêmes expressions des solutions, chacun peut donc choisir la méthode qui lui convient le mieux.
Jouons avec les systèmes de 2 équations à 2 inconnues
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Solution [ Voir ]
Système de 3 équations à 3 inconnues
Définition
On a cette fois-ci trois équations avec 3 inconnues, pour lesquelles on peut utiliser les mêmes méthodes de résolutions.
Chaque équation de ce système correspond à l'équation d'un plan dans un espace de dimension 3.
Exemples
Ce système donne les équations des plans :
en bleu,
en rouge
et
en vert.
Le point d'intersection des ces 3 plans n'est pas (facilement) lisible sur la figure, mais la résolution algébrique donne : x=1, y=-2 et z=1.
Ce système donne les équations des plans :
en bleu,
en rouge
et
en vert.
Les coefficients des variables x et y sont identiques pour les plans bleus et rouges, les constantes sont différentes, il y a donc deux plans parallèles et non confondus et un plan (vert) sécant à ces 2 plans.
Il n'y a pas d'intersection commune aux 3 plans, ce système n'admet pas de solution.
Ce système donne les équations des plans :
en bleu,
en rouge
et
en vert.
On peut remarquer que la somme des 3 lignes donnent une équation de la forme 0x+0y+0z=0, ce qui laisse présager une infinité de solutions à confirmer avec une résolution algébrique.
L'intersection des ces 3 plans est une droite ce qui signifie qu'il y a une infinité de solutions.
Méthodes de résolutions algébriques
On va résoudre les systèmes précédents avec les 3 méthodes utilisées pour le système de 2 équations à 2 inconnues.
Résolution par substitution
On commence par exprimer z en fonction de x et y dans la 3ème équation, puis on remplace z par son expression dans la 2ème équation :
On exprime y en fonction de x, puis z en fonction de x :
On remplace y et z par leur expression dans la première équation :
On calcule la valeur de x, puis y et enfin z :
On a une solution avec les valeurs x=1, y=-2 et z=1.
On commence par exprimer z en fonction de x et y dans la 3ème équation, puis on remplace z par son expression dans la 2ème équation :
On exprime y en fonction de x, puis z en fonction de x :
On remplace y et z par leur expression dans la première équation :
La première équation est impossible, il n'y a pas de solution
On commence par exprimer z en fonction de x et y dans la 3ème équation, puis on remplace z par son expression dans la 2ème équation :
On exprime y en fonction de x, puis z en fonction de x :
On remplace y et z par leur expression dans la première équation :
La première équation est toujours définie, il n'y a une infinité de solutions.
Résolution par combinaisons linéaires et éliminations
On commence par éliminer x dans les 2ème et 3ème lignes en appliquant les combinaisons
L2=5L2+4L1 et L3=5L3-L1 :
On élimine y dans la 3ème ligne en appliquant la combinaison
L3=L3+L2 :
On obtient les résultats en commençant par le calcul de y en remplaçant z par sa valeur, puis en remontant ainsi jusqu'au calcul de x dans la première ligne en remplaçant y et z par leurs valeurs :
On retrouve la solution avec les valeurs x=1, y=-2 et z=1.
Remarque : plutôt que de remonter en remplaçant les valeurs des variables, il est également possible de continuer les permutations pour éliminer z dans la première et la 2ème ligne, puis en éliminant y dans le première ligne :
On commence par éliminer x dans les 2ème et 3ème lignes en appliquant les combinaisons
L2=2L2-L1 et L3=4L3-L1 :
La deuxième équation est impossible, il n'y a pas de solution.
On commence par éliminer x dans les 2ème et 3ème lignes en appliquant les combinaisons
L2=3L2+4L1 et L3=3L3-L1 :
On remarque que L2=-L3 ce qui fait que la 2ème et la 3ème équation sont identiques, on a de fait un système de 2 équations à 3 inconnues.
Ce système admet donc une infinité de solutions.
Résolution par calcul de déterminant
On part du système général d'équations :
Le déterminant 3x3 se calcule à partir d'une suite de déterminants 2x2, en multipliant chaque valeur de la première ligne par le déterminant du système 2x2 représenté par les lignes et colonnes restantes en changeant de signe.
Cela donne le calcul ci-dessous :
On procède de même pour les déterminants Dx, Dy et Dz :
Comme pour le système de 2 équations à 2 inconnues, on en déduit les valeurs de x, y et z:
On a donc une solution si D≠0, dans le cas où D=0, si Dx=0 et Dy=0 et Dz=0 il n'y pas de solution ou bien une infinité de solutions, ou si Dx≠0 ou Dy≠0 ou Dz≠0,il n'y a pas de solution.
On résout le système :
On résout le système :
Le déterminant général est nul, les déterminants des variables sont tous différents de 0, il n'y a pas de solution.
On résout le système :
Tous les déterminants sont nuls, à ce niveau, on peut dire qu'il n'y a pas de solution ou bien une infinité de solutions.
Comparaison des méthodes
On part de l'expression générale :
Méthode par substitution
On exprime z en fonction de x et y dans la 3ème équation, puis on exprime y en fonction de x dans la 2ème équation en remplaçant z par l'expression obtenue dans la 3ème équation :
On exprime z en fonction de x en utilisant l'expression de la 2ème équation :
On remplace y et z dans la 1ére équation par leurs expressions :
On regroupe les termes en x d'une part et les termes constants d'autre part dans la 1ère équation :
Les calculs de y et z donneraient des résultats avec le même dénominateur. Ces résultats sont identiques à ceux obtenus avec la méthode de Cramer.
Ces calculs donnent une solution, s'il n'y aucune division par 0 dans les calculs intermédiaires. Si l'on rencontre une division par 0, le calcul s'arrête et les équations obtenues permettent de définir s'il n'y a pas de solution ou bien une infinité de solutions.
Méthode par combinaison et élimination
On élimine x des lignes 2 et 3 en effectuant :
L2=a2L1-a1L2 et L3=a3L1-a1L3 :
On élimine y de la ligne 3 :
On déduit la valeur de z :
Les calculs de x et y donneraient des résultats avec le même dénominateur. Ces résultats sont identiques à ceux obtenus avec la méthode de Cramer.
Ces calculs donnent une solution, s'il n'y aucune division par 0 dans les calculs intermédiaires. Si l'on rencontre une division par 0, le calcul s'arrête et les équations obtenues permettent de définir s'il n'y a pas de solution ou bien une infinité de solutions.
Jouons avec les systèmes de 3 équations à 3 inconnues
