Carré, racine carrée, identités remarquables

Carré

Le carré d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même. Il se note a²=a × a.

Identités remarquables

Les identités remarquables permettent d'effectuer des calculs sur le carré d'une somme et différence ou encore d'effectuer la différence des carrés. On peut trouver une explication géométrique à ces identités

\displaystyle(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

\displaystyle(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

Exemples

Calcul des carrés des nombres compris entre 11 et 99

Calcul de 172


172=(10+7)2
=102+2×10×7+72
=100+140+49
=289

Calcul de 432


432=(40+3)2
=402+2×40×3+32
=1600+240+9
=1849

Calcul de 592


592=(50+9)2
=502+2×50×9+92
=2500+900+81
=3481

Calcul de 872


872=(80+7)2
=802+2×80×7+72
=6400+1120+49
=7569

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Racine carrée

La racine carrée d'un nombre positif x est le nombre dont la valeur est x². La racine carrée de x se note $\displaystyle\sqrt{x}$ . Le résultat peut être un nombre à virgule avec une infinité de décimales.

Propriétés

Le produit de racines carrées est la racine carrée du produit :

\displaystyle\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}

Le quotient de racines carrées (dénominateur non nul) est la racine carrée du quotient :

\displaystyle\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

La racine carrée d'une somme est inférieure ou égale à la somme des racines carrées :

\displaystyle\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}

La racine carrée peut aussi s'écrire :

\displaystyle\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

Ce qui a pour conséquence que la racine carrée d'un nombre élevé à une puissance paire (divisible par 2) peut s'écrire :

\displaystyle\sqrt{a^{2n}}=a^{n}

Simplification

On peut simplifier l'écriture de la racine carrée en décomposant le nombre en produit de carrés parfaits dans la mesure où cette décomposition est possible. Pour faire cette décomposition, on peut partir avec une décomposition en facteurs premiers. Les facteurs premiers avec une puissance paire sont des carrés parfaits.

Exemples

Simplification de

\sqrt{245}

\begin{matrix} \sqrt{245} & = & \sqrt{5 \times 7^{2}} \\ = & 7 \times \sqrt{5} \end{matrix}

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Calcul

Le calcul de la racine carrée se fera avec soit la règle à calcul, soit avec la calculatrice. Le calcul à la main peut se faire avec la méthode de Héron ou Babylonienne ou encore avec la méthode de la division.

Exemple de calcul avec la méthode de la division

On propose de calculer :

\sqrt{287} = ?

2870000	16.94
1	1x1=1
187
156	26x6=156
03100
02961	329x9=2961
0013900
0013536	3384x4=13536

On sépare le nombres en paquets de 2 chiffres en partant de la droite : 2 87 que l'on positionne à la place du dividende de la division, la racine carrée sera écrite, au fur et à mesure des calculs, à la place du diviseur. Les produits successifs du calcul seront positionnés à la place du quotient.

Maintenant on peut commencer le caclul de la racine étape par étape

Etape 1

On calcule la partie entière de la racine carrée de 2 (=1) qui est facile à calculer car le nombre est compris entre 0 et 99
On écrit ce nombre 1 au dessus de la barre horizontale (place du diviseur), et on écrit le produit 1x1=1 en dessous de la barre horizontale (place du quotient)
On reporte ce nombre à gauche sous le premier nombre 2
On soustrait 2-1=1 en dessous
On ajoute les deux chiffres suivants 87 qui donne le nouveau dividende : 187

Etape 2

On calcule la somme 1+1=2, que l'on multiplie par 10 =20 . On cherche ensuite le chiffre des unités tel que 20 + chiffre des unités, le tout multiplié par le chiffre des unités soit maximum tout en restant inférieur à 187
Après avoir trouvé le chiffre des unités 6, on calcule le produit 26x6=156 et on ajoute ce chiffre des unités6 à la suite du nombre au dessus de la barre horizontale (place du diviseur)
On soustrait 187-156=31 en dessous
On ajoute les deux chiffres suivants 00 qui ont été ajoutés pour continuer le calcul avec des chiffres après la virgule, on obtient le nouveau dividende 3100 et on ajoute un point décimal (ou virgule) au résultat (place du diviseur) 16.
Le résultat intermédiaire est 16.

Etape 3

On calcule la somme 26+6=32, que l'on multiplie par 10 =320 . On cherche ensuite le chiffre des unités tel que 320 + chiffre des unités, le tout multiplié par le chiffre des unités soit maximum tout en restant inférieur à 3100
Après avoir trouvé le chiffre des unités 9, on calcule le produit 329x9=2961 et on ajoute ce chiffre des unités9 à la suite du nombre au dessus de la barre horizontale (place du diviseur)
On soustrait 3100-2961=139 en dessous
On ajoute les deux chiffres suivants 00 qui donne le nouveau dividende 13900
Le résultat intermédiaire est 16.9

Etape 4

On calcule la somme 329+9=338, que l'on multiplie par 10 =3380 . On cherche ensuite le chiffre des unités tel que 3380 + chiffre des unités, le tout multiplié par le chiffre des unités soit maximum tout en restant inférieur à 13900
Après avoir trouvé le chiffre des unités 4, on calcule le produit 3384x4=13536 et on ajoute ce chiffre des unités4 à la suite du nombre au dessus de la barre horizontale (place du diviseur)
Le résultat intermédiaire est 16.94

Le résultat final est :

\sqrt{287} = 16.94

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Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction

Définition et méthodes de calculs

Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction qui contient un ou plusieurs racines carrées consiste à multiplier le dénominateur et le numérateur par cette fraction ou bien par une expression qui permet d'éliminer cette fraction en utilisant par exemple l'identité remarquable présentée en début de cette page :

\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

Ce qui donne

\displaystyle\frac{n}{\sqrt{a}}=\frac{n\sqrt{a}}{a}

\displaystyle\frac{n}{a+\sqrt{b}}=\frac{n(a-\sqrt{b})}{(a+\sqrt{b})(a+\sqrt{b}% )}=\frac{n(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b^{2}}

Exemples

Soit la fraction :

12
On rend rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et dénominateur par :

2
Ce qui donne

(1)(2)(2)(2)

22
Soit la fraction :

21+3
On rend rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et dénominateur par :

1-3
Ce qui donne

(2)(1-3)(1+3)(1-3)

2-6-2
Soit la fraction :

23-3242-33
On rend rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et dénominateur par :

42+33
Ce qui donne

(23-32)(42+33)(42-33)(42+33)

-6-65

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