Les principes mathématiques

Le principe mathématique

Translation avec une échelle linéaire : addition

Translation avec une échelle logarithmique : multiplication

on trouve une vidéo de Mickaël Launay ici (micmaths).

Tracé d'une échelle logarithmique linéaire

Echelle logarithmique X de 1 à 10

Avec une régle graduée en centimètres, on propose de tracer une échelle logarithmique de 1 à 10 sur une échelle de 0 à 10cm. Le principe est simple, il suffit de calculer les logarithmes décimaux de 1 à 10, de multiplier le résultat obtenu par la valeur maximale de l'échelle souhaitée, puis de postionner cette valeur sur l'échelle graduée en cm.
Par exemple, avec une échelle graduée de 0 à 10cm, la valeur 2 est positionnée à $\mathrm{Log}(2)\times 10cm\approx 3cm$ .

Echelle logarithmique X² des carrés de 1 à 10

Cette fois on prend les logarithmes de 1 à 100 sur une échelle de 0 à 10cm. On calcule le logarithme décimal du carré de X, il faut donc diviser le résultat par 2 avant de le positionner sur la règle graduée.
Par exemple, en gardant l'échelle graduée de 0 à 10cm, la valeur 4 est positionnée à ${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Log}(4)\times 10cm\approx 3cm$ qui se trouve bien à la même position que la valeur 2 de l'échelle X.

Echelle logarithmique arcsin(0.1X) de 6° à 90°

Maintenant on propose de tracer les valeurs de la fonction arcsinus sur une échelle logarithmique de façon à positionner arcsin(0.1X) sur l'échelle graduée de 0 à 10cm. On calcule les positions de 6° à 90° angle qui se trouve donc à la position 10cm.
Par exemple, en gardant toujours l'échelle graduée de 0 à 10cm, la valeur 45° est positionnée à $\mathrm{Log}(\sin (45))\times 10+10\approx 8.5cm$ qui se trouve approximativement à la même position que la valeur 7 sur l'échelle X.

Exemple d'échelles logarithmiques pour une échelle de longueur 10cm.

1. Donner la formule qui permet de tracer l'échelle logarithmique X à partir d'une échelle de longueur l en cm
2. Donner la formule qui permet de tracer l'échelle logarithmique X² à partir d'une échelle de longueur l en cm
3. Donner la formule qui permet de tracer l'échelle logarithmique arcsin(0.1X) à partir d'une échelle de longueur l en cm
4. Expliquer pourquoi l'échelle de l'arcsinus commence à 6°
5. Quelle est la valeur en ° de l'échelle arcsinus correspond à la position 0cm ?

Tracé d'une échelle logarithmique circulaire

Le calcul est identique aux calculs précédents, en remplaçant l par 360° et en sachant que Log(1) est à la même position que Log(10)

Exemple d'échelle logarithmique pour une échelle circulaire.