Le PGCD appelé "Plus Grand Commun Diviseur" est, comme son nom l'indique, le plus grand nombre qui divise deux autres nombres.
le PGCD des nombre a et b est noté PGCD(a,b)=c.
Propriétés
Si le nombre a est premier alors PGCD(a,b)=b si b divise a ou PGCD(a,b)=1 si b ne divise pas a.
Pour un PGCD de trois nombres a,b,c, on a
PGCD(a,b,c)=PGCD(a,PGCD(b,c))=PGCD(PGCD(a,b),c)
Applications
On peut utiliser le PGCD pour simplifier des fractions, pour cela il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD du numérateur et du dénominateur.
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, le PGCD est le produit des facteurs communs aux deux décompositions élevés avec la puissance minimale.
Exemples
On calcule le PGCD de a=21 et b=9
Les décompositions sont :
a=3 × 7
b=32
PGCD=3
Le PGCD est 3
On calcule le PGCD de a=49 et b=28
Les décompositions sont :
a=72
b=22 × 7
PGCD=7
Le PGCD est 7
On calcule le PGCD de a=121 et b=44
Les décompositions sont :
a=112
b=22 × 11
PGCD=11
Le PGCD est 11
Calcul par soustractions successives
Cette méthode a été apportée par Euclide. On part de l'hypothèse que a ≤ b :
On calcule la nouvelle valeur de b=b-a, si b < a alors on permute les valeurs de a et b, on procède jusqu'à ce que b=0, alors a est le PGDC.
Exemples
On calcule le PGCD de a=21 et b=9
on échange a et b puis on calcule b=b-a=21-9=12
on garde a et b et on calcule b=b-a=12-9=3
on échange a et b puis on calcule b=b-a=9-3=6
on garde a et b et on calcule b=b-a=6-3=3
on garde a et b et on calcule b=b-a=3-3=0
Le PGCD est 3
On calcule le PGCD de a=49 et b=28
on échange a et b puis on calcule b=b-a=49-28=21
on échange a et b puis on calcule b=b-a=28-21=7
on échange a et b puis on calcule b=b-a=21-7=14
on garde a et b et on calcule b=b-a=14-7=7
on garde a et b et on calcule b=b-a=7-7=0
Le PGCD est 7
On calcule le PGCD de a=121 et b=44
on échange a et b puis on calcule b=b-a=121-44=77
on garde a et b et on calcule b=b-a=77-44=33
on échange a et b puis on calcule b=b-a=44-33=11
on échange a et b puis on calcule b=b-a=33-11=22
on garde a et b et on calcule b=b-a=22-11=11
on garde a et b et on calcule b=b-a=11-11=0
Le PGCD est 11
Prendre un papier et un crayon, puis demander
Solution [ Voir ]
PPCM
Le PPCM appelé "Plus Petit Commun Multiple" est le plus petit nombre qui peut être divisé par deux autres nombres.
Un multiple commun à deux nombres est un nombre qui est divisible par chacun de ces deux nombres. Le PPCM est le plus petit nombre qui est divisible par chacun de ces deux nombres.
Le PPCM c de deux nombres a et b est noté PPCM(a,b)=c.
Le PPCM peut se calculer à partir du PGCD avec la relation :
Propriétés
Tous les multiples de deux nombres a et b sont des multiples du PPCM(a,b)
Pour un PPCM de trois nombres a,b,c, on a
PPCM(a,b,c)=PPCM(a,PPCM(b,c))=PPCM(PPCM(a,b),c)
Calcul par décomposition en facteurs premiers
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, le PPCM est le produit de l'ensemble des facteurs des deux décompositions élevés avec la puissance maximale lorsqu'ils sont communs aux deux nombres.
Exemples
On calcule le PPCM de a=21 et b=9
Les décompositions sont :
a=3 × 7
b=32
PPCM=32 × 7
Le PPCM est 63
On calcule le PPCM de a=15 et b=20
Les décompositions sont :
a=3 × 5
b=22 × 5
PPCM=22 × 3 × 5
Le PPCM est 60
On calcule le PPCM de a=33 et b=77
Les décompositions sont :
a=3 × 11
b=7 × 11
PPCM=3 × 7 × 11
Le PPCM est 231
On calcule le PPCM de a=72 et b=16
Les décompositions sont :