Le modulo est le reste de la division, par exemple le reste de la division 2345 par 9, qui vaut 5, s'écrit 2345 mod 9 =5
Les nombres sont exprimés en base 10, c'est à dire qu'il peut se décomposer en : chiffre des unités + chiffre des dizaines multiplié par 10 + chiffre des centaines multiplié par 100 + ...
Par exemple, 2345 = 2x1000 + 3x100 + 4x10 + 5=2000+300+40+5 . On appelle cela des puissances de 10. La preuve par 9 utilise une propriété du modulo 9 qui est :
1 mod 9=10 mod 9=100 mod 9=1000 mod 9=1 et ainsi de suite comme le montre les divisions suivantes :
| 1 | 9 | ||
| 1 | 0 |
| 1 | 0 | 9 | ||
| 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 9 | |||
| 1 | 0 | 1 | 1 | |||
| 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 9 | ||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 0 | |||||||
| 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 9 | |||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||
| 1 | 0 | |||||||||
| 1 | 0 | |||||||||
| 1 |
Les divisions ci-dessus donnent le même reste 1. Ceci reste valable pour tous les autres chiffres de 2 à 9.
Choisir une division de ×10n par 9 :
On peut remarquer que le reste vaut 0 pour le chiffre 9, ce qui fait que l'on peut changer les résultats égaux à 9 par 0 dans le calcul de la preuve par neuf.
Avec cette propriété, on peut déduire le reste de 2345 divisé par 9 (2345 mod 9)
Attention! plusieurs nombres peuvent donner le même modulo, il faut donc noter que si la preuve par 9 est juste, cela ne signifie pas pour autant que le résultat de l'opération est juste, mais si la preuve par neuf est fausse alors le résultat de l'opération est obligatoirement faux.
| 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 6 | 2 | 5 | 6 | |
| + | 8 | 6 | 4 | 5 | |
| 2 | 4 | 9 | 0 | 1 |
On calcul la somme des chiffres de la première opérande
| 8 | 2 | 3 | 4 | |
| - | 6 | 2 | 6 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 9 | 6 | 9 |
| 1 | 2 | 5 | 3 | 7 | ||||
| x | 1 | 0 | 2 | 3 | ||||
| 3 | 7 | 6 | 1 | 1 | ||||
| 2 | 5 | 0 | 7 | 4 | . | |||
| 1 | 2 | 5 | 3 | 7 | . | . | . | |
| 1 | 2 | 8 | 2 | 5 | 3 | 5 | 1 |
| 1 | 1 | 7 | 1 | 4 | 1 | 1 | 2 | ||
| 5 | 1 | 4 | 1 | 0 | 4 | ||||
| 6 | 6 |