La proportionalité

Le pourcentage

Le pourcentage est un nombre sans dimension qui permet de calculer une proportion d'une quantité. Le symbole est le caractère %. Il correspond à la valeur de la proportion divisée par la quantité totale et multiplié par 100. Un pourcentage est toujours sans unité quelque soient les unités des grandeurs utilisées.

Exemple, le résultat d'elections

Dans un bureau de vote on comptabilise 1190 personnes inscrites, 500 personnes se déplacent pour aller voter. Au dépouillement, on comptabilise un total de 100 pour les votes blanc et nuls, il y a deux candidats, on comptabilise 201 votes pour le premier candidat. On va calculer le taux d'abstention, le pourcentage obtenu par chacun des deux candidats.
Le nombre d'abstentions est de 1190-500 = 690, ce qui fait un taux d'abstention de ${\displaystyle \frac{690}{1190}}\times 100\approx 0,5798\times 100\approx 57,98\%$. Pour calculer le pourcentage obtenu par les deux candidats, il faut calculer le nombre de suffrages exprimés qui est de 500-100=400, ceci permet de calculer le nombre de votes obtenus par le second candidat qui est : 400-201=199, le premier candidat est donc élu avec ${\displaystyle \frac{201}{400}}\times 100\approx 0,5025\times 100\approx 50,25\%$ , le deuxième candidat a obtenu ${\displaystyle \frac{199}{400}}\times 100\approx 0,4975\times 100\approx 49,75\%$. En réalité le candidat élu ne représente que ${\displaystyle \frac{201}{1190}}\times 100\approx 0,1689\times 100\approx 16,89\%$ des électeurs inscrits.

Exemple, la facture d'électricité

Ce tableau peut être réalisé à l'aide d'un logiciel nommé tableur.

Calcul inverse, le salaire brut

Une personne a un salaire net de 1302,64€ par mois, le taux de prélèvement est de 20,84% du salaire brut. Le salaire net se calcule à partir du salaire brut en soustrayant 20,84% du salaire brut. Ce qui se traduit par le calcul $net=brut-brut\times {\displaystyle \frac{taux}{100}}$
Pour calculer le salaire brut à partir du salaire net, il faut adapter l'opération $brut={\displaystyle \frac{net}{1-\frac{taux}{100}}}$ ce qui donne dans notre cas $brut={\displaystyle \frac{1302,64}{1-\frac{20,84}{100}}}={\displaystyle \frac{1302,64}{0,7916}}\approx 1645,58$, qui fait un salaire brut de 1645,58€ par mois.

La règle de trois

La règle de trois également appelée produit en croix ou règle de proportionalité est une méthode qui permet de calculer une quatrième valeur proportionnelle à partir de trois valeurs connues en utilisant la multiplication et la division. Elle est très utilisée et permet de calculer une distance en fonction d'un temps et d'une vitesse, le prix d'une quantité d'un produit en fonction du prix connu pour une autre quantité, une distance réelle en fonction d'une distance mesurée sur un plan (voir unités, longueurs et aires), une conversion d'une somme exprimée dans une devise dans une autre devise, le calcul d'un pourcentage, le théorème de Thalès. Cette règle permet d'exprimer une quantité d en fonction d'une quantité c en respectant la règle de proportionnalité de a et b.

L'ancienne devise de la France était le franc, elle est devenue l'euro (€) depuis le 1^er janvier 2002. La valeur de conversion est 6,55957 Frs = 1 € et ne change pas au cours des années. On peut effectuer la conversion sur l'insee.
Prenons la prix d'une baguette de pain dans les années 1980 qui valait environ 90 centimes de franc, aujourd'hui, en 2022, elle vaut 95 centimes d'euro.

Jouer avec la règle de trois

1. Dans les années 1980, une baguette de pain coûte 0,90 Frs ou 0,14€, sachant que le litre de carburant, à la même époque coûte 1,5Frs, combien coûte un litre de carburant en € à cette époque ?
   Pour jouer encore plus, en 2022, un litre de carburant coûte environ 2€, quel est le pourcentage d'augmentation sur ces 40 années ?
2. Une voiture consomme 3 litres pour 70 km, quelle va être sa consommation en litres pour 150km ?
3. La consommation de gaz est mesurée en m³ et facturée en kWh avec une relation entre ces deux unités comprenant de nombreux paramètres. Le mois précédent, on a relevé 123m³ et trouvé 1370kWh sur la facture. Pour ce mois on a mesuré 234m³. Quelle va être la valeur en kWh sur la facture ?
4. L'empreinte carbone établit correspondance entre la consommation électrique en kWh et la quantité de CO₂e en kg émise qui varie en fonction des énergies utilisées pour fabriquer l'électricité. On trouve, par exemple, 3kg de CO₂e pour 65kWh, donner la valeur pour une énergie de 190kWh.
5. En règle génrale on considère qu'un panneau solaire fournit entre 100W/m² et 150W/m² pour une énergie solaire d'environ 1kW/m². Avec des panneaux solaires au sol, on obtient environ 2kW pour 20m² au sol. Quelle est la puissance fournie pour une superficie de 1ha (voir unité de surface)?
6. Lors d'une évaluation, les résultats sont notés sur 35. Quelle est la valeur sur 20 de la note 23/35 ?
7. Sur le site de l'insee, 1,5Fr en 1980 donne 0,66€ en 2021. Calculer 1,5Fr en €. Deduire l'inflation entre 1980 et 2021.