Circuits et courant alternatif

Grandeurs sinusoïdales

Définitions

Le signal, courant ou tension, est une fonction sinusoïdale de type sinus ou cosinus. Elle est définie par : $\displaystyle u(t)=\hat{U}\sin(2\pi ft+\phi)$ pour une tension, avec

Û : valeur crète, valeur absolue maximale
f : fréquence qui est égale au nombre de périodes T par seconde
$\displaystyle\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$ avec ω : puslation en radians par seconde et T période
Φ : phase à l'origine, qui correspond à la valeur de la tension à t=0

On définit également la valeur moyenne U_moy=Ū=0, pour calculer cette valeur on utilise la calcul intégral sur une période

\displaystyle\overline{U}=U_{moy}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{u(t)dt}=\frac{\hat{U% }}{T}\int_{0}^{T}{\sin(\omega t+\phi)dt}=0

et les valeur efficace U qui fait également appel au calcul intérgal

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}U_{eff}^{2}&=&\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{u^{2}(t% )dt}\\ &=&\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\hat{U}^{2}\sin^{2}(\omega t)dt}\\ &=&\frac{\hat{U}^{2}}{2T}\int_{0}^{T}{(1-\cos(2\omega t))dt}\\ &=&\frac{\hat{U}^{2}}{2T}\left([t]_{0}^{T}-\int_{0}^{T}{\cos(\omega t)dt}% \right)\\ &=&\frac{\hat{U}^{2}}{2}\\ U_{eff}&=&\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}\\ \end{array}

Représentation complexe

La représentation complexe utilise la formule de l'exponentielle complexe $\displaystyle re^{j\theta}=r(\cos(\theta)+jr\sin(\theta))$ .

On applique cette relation aux courants et tensions ce qui donne l'expression complexe de u(t)

\displaystyle\underline{U}=Ue^{j(\omega t+\phi)}=U\left(\cos(\omega t+\phi)+j% \sin(\omega t+\phi)\right)

Dans les calculs complexes, on représentera les tensions et courants complexes indépendemment du temps, avec uniquement la phase : $\displaystyle\underline{U}=Ue^{j(\phi)}$

A partir de cette notation, on définit l'impédance complexe $\displaystyle\underline{Z}=\frac{\underline{U}}{\underline{I}}$ , et en prenant comme référence des phases la tension U=U on peut écrire $\displaystyle\underline{Z}=\frac{U}{Ie^{j\phi}}=\frac{U}{I}e^{-j\phi}=Ze^{-j\phi}$ .
La partie réelle d'une impédance se nomme la résistance R, et la partie imaginaire se nomme la réactance X, ce qui donne $\displaystyle\underline{Z}=R+jX$

On définit également l'inverse de l'impédance Z, l'admittance $\displaystyle\underline{Y}=\frac{\underline{I}}{\underline{U}}=\frac{1}{% \underline{Z}}=Ye^{j\phi}$ .
La partie réelle d'une admittance se nomme la conductance G, et la partie imaginaire se nomme la susceptance B, ce qui donne $\displaystyle\underline{Y}=G+jB$ .

L'étude des circuits en régime sinusoïdal est utilisé pour étudier le comportement du circuit en fonction de la fréquence en régime permanent, ce qui justifie la représentation complexe du circuit. On est dans le cas de l'utilisation de la solution particulière de l'équation différentielle car le régime permanent seul ne fait pas appel à la solution générale.

Dans ce cadre, on définit les impédances des composants passifs où la résistance est une impédance réelle Z_R=R, où l'inductance est une impédance imaginaire pure $\displaystyle\underline{Z_{L}}=jL\omega=L\omega e^{j\frac{\pi}{2}}$ et où le condensateur est également une impédance imaginaire pure $\displaystyle\underline{Z_{C}}=\frac{1}{jC\omega}=\frac{1}{C\omega}e^{j\frac{-% \pi}{2}}$

On peut également définir les impédances avec la transformée de Laplace, en appliquant l'égalité p=jω qui donne $\displaystyle\underline{Z_{L}}=Lp$ et $\displaystyle\underline{Z_{C}}=\frac{1}{Cp}$ .

Remarque : Pour les notations complexes, on n'utilise quasi jamais le symbole avec la barre en dessous mais le symbole seul, pour distinguer du module on utilise les doubles barres verticales soit ||Z|| qui est le module du complexe Z.

Puissance

Définition

La puissance instantanée est toujours vraie quelques soient les signaux u(t) et i(t) : $\displaystyle p(t)=u(t)i(t)$

Puissance active

Elle est exprimée en watt et correspond à l'énergie thermique, mécanique, ...

Elle correspond à la valeur moyenne de p(t) sur une période : $\displaystyle P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{p(t)dt}$ .
Le résultat dépend des formes des grandeurs u(t) et i(t)

Les deux grandeurs sont sinusoïdales
La puissance s'écrit $\displaystyle P=\frac{\hat{U}\hat{I}}{T}\int_{0}^{T}{\cos(\omega t)\cos(\omega t% +\phi)dt}$ . En utilisant les formules de trigonométrie, on peut calculer cette intégrale :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}P&=&\frac{\hat{U}\hat{I}}{2T}\int_{0}^{T}{% \cos(-\phi)dt}+\frac{\hat{U}\hat{I}}{2T}\int_{0}^{T}{\cos(2\omega t-\phi)dt}\\ &=&\frac{\hat{U}\hat{I}}{2T}\int_{0}^{T}{\cos(\phi)dt}+\frac{\hat{U}\hat{I}}{2% T}\int_{0}^{T}{\cos(2\omega t-\phi)dt}\\ &=&\frac{\hat{U}\hat{I}\cos(\phi)}{2T}[t]_{0}^{T}+0\\ &=&\frac{\hat{U}\hat{I}\cos(\phi)}{2}\\ &=&U_{eff}I_{eff}\cos(\phi)\\ &=&UI\cos(\phi)\\ \end{array}

u(t)=U est continue, i(t) est sinusoïdale de valeur moyenne non nulle

\displaystyle\hat{U}=\overline{U}=U\Rightarrow P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{Ui(t)% dt}=\frac{U}{T}\int_{0}^{T}{i(t)dt}=UI_{moy}=U\overline{I}

Puissance réactive

Elle est exprimée en VAR (Volt Ampère Réactif) et correspond à l'énergie transmise par une inductance ou un condensateur
$\displaystyle Q=UI\sin(\phi)$

Puissance apparente

Elle est exprimée en VA (Volt Ampère) et sert à dimensionner les appareils comme les transfromateurs.
S=UI

Relation avec les autres puissances

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}P^{2}+Q^{2}&=&(UI)^{2}\cos^{2}(\phi)+(UI)^{2}% \sin^{2}(\phi)\\ P^{2}+Q^{2}&=&(UI)^{2}\left(\cos^{2}(\phi)+{2}\sin^{2}(\phi)\right)\\ P^{2}+Q^{2}&=&(UI)^{2}=S^{2}\\ \end{array}

Dans le plan des complexes, pour une impédance Z=R+jX, ces puissances s'écrivent : P=RI², Q=XI² et S=||Z||I²

Impédances en série et en parallèle

Groupement en série

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}Z_{eq}&=&\sum_{k=1}^{n}{Z_{k}}\\ &=&\sum_{k=1}^{n}{R_{k}+jX_{k}}\\ &=&\sum_{k=1}^{n}{R_{k}}+j\sum_{k=1}^{n}{X_{k}}\\ \end{array}

Groupement en parallèle

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}Y_{eq}&=&\sum_{k=1}^{n}{Y_{k}}\\ &=&\sum_{k=1}^{n}{G_{k}+jB_{k}}\\ &=&\sum_{k=1}^{n}{G_{k}}+j\sum_{k=1}^{n}{B_{k}}\\ \end{array}

\displaystyle\frac{1}{Z_{eq}}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{Z_{k}}}=\sum_{k=1}^{n}{% \frac{1}{R_{k}+jX_{k}}}

Utilisation des théorèmes

Les circuits en alternatifs s'étudient en appliquant les mêmes théorèmes que ceux appliqués aux circuits continus : loi des noeuds, théorème de Thevenin, théorème de superposition, théorème de Millmann.

Exemple

La tension u(t) est de la frome 
				      u  ⁢    (  t  )      =    U  ⁢    sin  ⁡    (    ω  ⁢  t    )         .
				On cherche à exprimer la tension u2(t) en régime permanent.
				
En utilisant le théorème de Millmann, on va exprimer la valeur de U2 et fonction de U en régime sinusoïdal permanent :
				
				            U  2    ⁢    (  p  )          =            U    R  1          1    R  1      +    1    R  2      +    C  ⁢  p                    =            U    R  1            R  2    +    R  1    +      R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  p          R  1    ⁢    R  2                      =            U  ⁢    R  2          R  1    +    R  2    +      R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  p                    =        U  ⁢        R  2        R  1    +    R  2          ⁢      1    1  +          R  1    ⁢    R  2        R    1  +    R  2          ⁢  C  ⁢  p                  
				
Pour exprimer u2(t), il faut exprimer le module et l'argument de l'expression complexe :
				        U  2    ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =        U  ⁢    R  2          R  1    +    R  2    +    j  ⁢    R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  ω            				qui sont :
				
				      ||      U  2    ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||    =        U  ⁢    R  2              (      R  1    +    R  2      )    2    +      (      R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  ω    )    2             

				      A  ⁢  r  ⁢  g  ⁢    (      U  2    ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )      =    -    arctan  ⁡    (          R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  ω        R  1    +    R  2          )          
				
Ceci nous permet de déduire l'expression de u2(t)
				
				        u  2    ⁢    (  t  )      =          U  ⁢    R  2              (      R  1    +    R  2      )    2    +      (      R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  ω    )    2            ⁢    sin  ⁡    (      ω  ⁢  t    -    arctan  ⁡    (          R  1    ⁢    R  2    ⁢  C  ⁢  ω        R  1    +    R  2          )        )

Autres méthodes de calcul de U₂ en fonction de U

Utilisation du pont diviseur de Tension Voir

On définit un pont diviseur de tension avec U, Z₁=R₁ d'une part et R₂//C d'autre part :
$\displaystyle Z_{2}(p)=\frac{\frac{R_{2}}{Cp}}{R_{2}+\frac{1}{Cp}}=\frac{R_{2}% }{1+R_{2}Cp}$ Ce qui permet d'écrire :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}U_{2}(p)&=&U\frac{Z_{2}(p)}{Z_{1}+Z_{2}(p)}\\ &=&U\frac{\frac{R_{2}}{1+R_{2}Cp}}{R_{1}+\frac{R_{2}}{1+R_{2}Cp}}\\ &=&U\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}Cp}\\ \end{array}

résultat identique à celui obtenu avec le théorème de Millmann.

Utilisation du théorème de Thevenin Voir

On définit le circuit de Thevenin équivalent à U, R₁ et R₂, le condensateur C étant déconnecté. Ceci nous donne les composantes du générateur de Thevenin équivalent : $\displaystyle E_{th}=U\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ et $\displaystyle R_{th}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$

En remplaçant le circuit U, R₁ et R₂ par le générateur de Thevenin E_th et R_th et en appliquant le diviseur de tension, on peut écrire :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}U_{2}(p)&=&E_{th}\frac{\frac{1}{Cp}}{R_{th}+% \frac{1}{Cp}}\\ &=&E_{th}\frac{1}{1+R_{th}Cp}\\ &=&U\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\frac{1}{1+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}Cp}\\ \end{array}

résultat identique à celui obtenu avec le théorème de Millmann.

Application numérique

On utilise les valeurs suivantes U=1v, R₁=R₂=10kΩ, C=100nF, f=1kHz qui donnent le résultat suivant : u₂(t)=0,152 sin(6283t-1,26).

Voir les résultats de la simulation

Maintenant, u(t) est un signal carré de période T.

Pour simplifier les calculs, on considère le circuit équivalent de Thevenin avec U=E_th et R=R_th. On veut exprimer u_c(t) en régime permanent. Dans ce cas on ne part pas de conditions initiales nulles pour le condensateur mais d'une valeur nommée u_cmin. On écrit les équations pour l'intervalle [0,T/2] qui correspond à la charge du condensateur avec la tension E_th et [T/2,T] qui correspond à la décharge du condensateur. Pour cela on va utiliser le résultat de l'équation différentielle d'un circuit RC.
L'origine des temps correspond au début de la charge en régime permament, mais pas à la mise sous tension du circuit.

L'équation de charge entre 0 et T/2 s'écrit $\displaystyle u_{c}(t)=E_{th}+(U_{cmin}-E_{th})e^{-\frac{t}{R_{th}C}}$
L'équation de décharge entre T/2 et T s'écrit $\displaystyle u_{c}(t)=U_{cmax}e^{-\frac{t-\frac{T}{2}}{R_{th}C}}$

Maintenant on doit calculer les valeurs de U_cmin qui correspond à u_c(T) dans l'équation de décharge et U_cmax qui correspond à u_c(T/2) dans l'équation de charge. On peut donc écrire : $\displaystyle U_{cmax}=E_{th}+(U_{cmin}-E_{th})e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}$ et $\displaystyle U_{cmin}=U_{cmax}e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}$
On remplace U_cmax de la première équation (charge) par sa valeur déduite de la deuxième équation (décharge) $\displaystyle U_{cmax}=U_{cmin}e^{\frac{T}{2R_{th}C}}$

on obtient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}U_{cmin}e^{\frac{T}{2R_{th}C}}&=&E_{th}+(U_{% cmin}-E_{th})e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}\\ U_{cmin}\left(e^{\frac{T}{2R_{th}C}}-e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}\right)&=&E_{th}% \left(1-e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}\right)\\ U_{cmin}&=&E_{th}\frac{1-e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}}{e^{\frac{T}{2R_{th}C}}-e^{-% \frac{T}{2R_{th}C}}}\\ \end{array}

\displaystyle U_{cmax}=E_{th}\frac{e^{\frac{T}{2R_{th}C}}-1}{e^{\frac{T}{2R_{% th}C}}-e^{-\frac{T}{2R_{th}C}}}

On a donc maintenant les deux expressions complètes de u_c(t) de charge et décharge en fonctions de la tension U et des composants du montage.

Application numérique

On utilise les valeurs suivantes U=1v, R₁=R₂=10kΩ, C=100nF , f_r=1kHz, qui donnent les résultats suivant : u_cmin=0,134v , u_cmax=0,365.

Voir les résultats de la simulation

Utilisation des formes canoniques

Le circuit RLC suivant est utilisé en conversion d'énergie dans les régulateurs à découpage. On étudie en premier la solution de l'équation différentielle en utilisant les résultats de la forme canonique d'un système d'ordre deux.

Les lois de Kirchoff permettent d'écrire les équations différentielles de ce circuit

\displaystyle{}\left\{\begin{array}[]{rcl}u(t)&=&L\frac{di}{dt}+u_{c}(t)\\ i(t)&=&\frac{u_{c}(t)}{R}+C\frac{du_{c}}{dt}\end{array}\right.

en remplaçant l'expression de i(t) de la première équation par son expression décrite dans la deuxième équation, on obtient

\displaystyle LC\frac{d^{2}u_{c}}{dt^{2}}+\frac{L}{R}\frac{du_{c}}{dt}+u_{c}(t% )=u(t)

avec

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}

\displaystyle\xi=\frac{\omega_{0}}{2}\frac{L}{R}=\frac{L}{2R\sqrt{LC}}

Application numérique

On choisit u(t)=U=6v, L=220mH, R=100Ω et C=220μF ce qui donne les valeurs des paramètres de la forme canonique : ω₀≈144rad/s (f₀≈23Hz) et ξ≈0,16. ξ<1 la réponse est donc de la forme

\displaystyle u_{c}(t)=U\left(1-\frac{e^{-\xi\omega_{0}t}}{\sqrt{1-\xi^{2}}}% \sin\left(\omega_{0}\sqrt{1-\xi^{2}}t+\arccos(\xi)\right)\right)

\displaystyle u_{c}(t)=6\left(1-1.013e^{-23t}\sin\left(141t+1.41\right)\right)

Voir les résultats de la simulation

u(t) est maintenant un signal carré d'amplitude U=12v, de valeur moyenne U_moy=6v et de fréquence de récurrence f_r=1kHz.

On s'intéresse maintenant à la variation de courant sur une période du signal carré en fonctionnement permanent, pour cela on suppose que la tension u_c(t) est constante, ce qui est vrai si la fréquence de récurrence du signal carré est très grande devant la fréquence naturelle du circuit, ce qui est le cas : f_r=1kHz≫f_n=23Hz.

On écrit l'équation différentielle de i(t) en fonction de u(t) pour u(t)=U, puis u(t)=0 avec u_c(t) qui est constant et des conditions initiales non nulles. On écrit les équations pour l'intervalle [0,T/2] avec u(t)=U et i(0)=I_min puis pour l'intervalle [T/2,T] avec u(t)=0 et i(0)=I_max.

Comme pour le cicuit RC, l'origine des temps correspond au début de la charge en régime permament, mais pas à la mise sous tension du circuit.

La première équation entre 0 et T/2 s'écrit : $\displaystyle L\frac{di}{dt}+U_{c}=U$ avec i(0)=I_min, qui admet comme solution $\displaystyle i(t)=\frac{U-U_{c}}{L}t+I_{min}$ et donne $\displaystyle I_{max}=i\left(\frac{T}{2}\right)=\frac{U-U_{c}}{L}\frac{T}{2}+I% _{min}$ .
La deuxième équation entre T/2 et T s'écrit $\displaystyle L\frac{di}{dt}+U_{c}=0$ avec i(0)=I_max qui admet comme solution $\displaystyle i(t)=-\frac{U_{c}}{L}\left(t-\frac{T}{2}\right)+I_{max}$ et donne $\displaystyle I_{min}=i(T)=-\frac{U_{c}}{L}\frac{T}{2}+I_{max}$ .

Les expressions I_max et I_min nous permettent de calculer la valeur de U_c en additionant les deux expressions :

\displaystyle I_{max}+I_{min}=\frac{U-U_{c}}{L}\frac{T}{2}+I_{min}-\frac{U_{c}% }{L}\frac{T}{2}+I_{max}

\displaystyle\frac{U-U_{c}}{L}\frac{T}{2}-\frac{U_{c}}{L}\frac{T}{2}=0

\displaystyle\frac{U-U_{c}}{L}\frac{T}{2}=\frac{U_{c}}{L}\frac{T}{2}% \Rightarrow U-2U_{c}=0\Rightarrow U_{c}=\frac{U}{2}=U_{moy}

on a toujours la relation i(t)=i_C(t)+i_R(t) avec i_c(t) courant circulant dans le condensateur et i_R(t) circulant dans la résistance. Le courant dans la résistance est constant et vaut $\displaystyle i_{R}(t)=\frac{U_{c}}{R}=I_{Rmoy}$ . Le courant moyen dans le condensateur est nul car $\displaystyle I_{Cmoy}=C\frac{dU_{c}}{dt}=0$ . On en déduit I_moy=I_Rmoy.

En remplaçant la valeur de U_c dans une des expressions de I_max ou I_min, on obtient la variation de i(t) : ΔI=I_max-I_min :

\displaystyle\Delta I=I_{max}-I_{min}=\frac{U-\frac{U}{2}}{L}\frac{T}{2}=\frac% {UT}{4L}

On en déduit les valeurs de I_max et I_min :

\displaystyle I_{max}=I_{moy}+\frac{\Delta I}{2}=\frac{U_{c}}{2}+\frac{UT}{8L}

\displaystyle I_{min}=I_{moy}-\frac{\Delta I}{2}=\frac{U_{c}}{2}-\frac{UT}{8L}

Les résultats numériques sont : $\displaystyle I_{max}=\frac{12}{200}+\frac{12\times 10^{-3}}{8\times 220\times 1% 0^{-3}}\approx 67mA$ et $\displaystyle I_{max}=\frac{12}{200}-\frac{12\times 10^{-3}}{8\times 220\times 1% 0^{-3}}\approx 53mA$ .

Finalement on a U_c=6v, I_max≈63mA et I_min≈53mA.

Voir les résultats de la simulation

Lorsqu'on se place à la même échelle, on observe un comportement identique à une valeur continue égale à la valeur moyenne avec une tension u_c(t) constante en régime permanent. Cela confirme l'hypothèse utilisée pour calculer les variations du courant i(t) en prenant en compte les conditions initiales non nulles. C'est ce principe qui est utilisé dans les convertisseurs d'énergie à découpage.

Sonde oscilloscope

Une sonde pour oscilloscope contient un circuit RC parallèle avec un condensateur variable. Cette sonde permet d'offrir une impédance d'entrée importante afin d'atténuer l'influence de l'impédance d'entrée de l'oscilloscope sur la mesure. Le réglage de la capacité variable permet d'annuler l'influence de la fréquence sur la mesure.

Calculer H(jω) en régime sinusoïdal en fonction des résistances et des condensateurs.
Exprimer C₁ en fonction des autres composants pour que H(jω) soit indépendant de ω.
Application numérique : R₁=9MΩ, R₂=1MΩ et C₂=50pF, calculer la valeur de C₁ puis la valeur de ||H(jω)||

Voir la solution

On calcule le pont diviseur de tension avec les deux impédances :
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}H(p)&=&\frac{\frac{R_{2}}{1+R_{2}C_{2}p}}{% \frac{R_{1}}{1+R_{1}C_{1}p}+\frac{R_{2}}{1+R_{2}C_{2}p}}\\ &=&\frac{R_{2}(1+R_{1}C_{1}p)}{R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}(C_{1}+C_{2})p}\\ &=&\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\frac{1+R_{1}C_{1}p}{1+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{% 2}}(C_{1}+C_{2})p}\\ \end{array}$

$\displaystyle H(j\omega)=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\frac{1+jR_{1}C_{1}\omega}{1% +j\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(C_{1}+C_{2})\omega}$
La fonction doit être réelle ce qui impose
$\displaystyle\begin{array}[]{rcl}R_{1}C_{1}&=&\frac{R_{1}R_{2}(C_{1}+C_{2})}{R% _{1}+R_{2}}\\ R_{1}C_{1}(R_{1}+R_{2})&=&R_{1}R_{2}(C_{1}+C_{2})\\ R_{1}^{2}C_{1}+R_{1}R_{2}C_{1}&=&R_{1}R_{2}C_{1}+R_{1}R_{2}C_{2}\\ R_{1}C_{1}&=&R_{2}C_{2}\\ C_{1}&=&\frac{R_{2}C_{2}}{R_{1}}\\ \end{array}$
Application numérique : C₁≈5.5pF et H=0.1

Signaux périodiques quelconques

Tout signal périodique quelconque peut se décomposer en une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquences et phases différentes nommées séries de Fourier, qui s'écrit :

\displaystyle u(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n% \omega t)}

avec

$\displaystyle a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{u(t)dt}$ qui représente la valeur moyenne du signal.
$\displaystyle a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}{u(t)\cos(n\omega t)dt}$
$\displaystyle b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}{u(t)\sin(n\omega t)dt}$
n qui représente l'harmonique de rang n, n=1 représente le fondamental
Le module de chaque harmonique qui vaut $\displaystyle c_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$
La phase de chaque harmonique qui vaut $\displaystyle\phi_{n}=\arctan\left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)$

Exemple

Série de Fourier d'un signal carré

On calcule la série de Fourier du signal de fréquence 5Hz et d'amplitude 1.

La valeur moyenne de ce signal est nulle, ce qui fait que le coefficient a₀=0, de plus la fonction est impaire, donc le coefficient a_n=0

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}b_{n}&=&\frac{2}{T}\int_{0}^{T}{u(t)\sin(n% \omega t)dt}\\ &=&\frac{2}{T}\left(\int_{0}^{\frac{T}{2}}{u(t)\sin(n\omega t)dt}-\int_{\frac{% T}{2}}^{T}{u(t)\sin(n\omega t)dt}\right)\\ &=&\frac{2}{n\omega T}\left(\left[-\cos(n\omega t)\right]_{0}^{\frac{T}{2}}-% \left[-\cos(n\omega t)\right]_{\frac{T}{2}}^{T}\right)\\ &=&\frac{1}{n\pi}\left(1-\cos(n\pi)+1-\cos(n\pi)\right)\\ &=&\frac{1}{n\pi}\left(1-\cos(n\pi)\right)\\ &=&\frac{1}{n\pi}\left(1-(-1)^{n}\right)\\ \end{array}

On a uniquement des harmoniques de rang impairs avec un coefficient défini par

\displaystyle b_{k}=\frac{4}{(2k+1)\pi}

avec k ∈ ℕ.

La fonction u(t) s'écrit :

\displaystyle u(t)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{4}{(2k+1)\pi}\sin\left((2k+1)% \omega t\right)}

Troncature d'un signal carré

On supprime les fréquences supérieures à 50Hz. On voit bien l'influence de cette troncature sur l'allure du signal. En pratique les circuits imprimés et câbles, de par leur propriété physique, atténuent, voir suppriment les fréquences les plus élevées. Ce qui fait que, sur les cartes électroniques numériques, les signaux sont souvent déformés. Le signal carré présenté ici est une présentation plus proche de la réalité des signaux que l'on peut visualiser sur un oscilloscope.

Ce phénomème est connu sous le nom de phénomème de Gibbs très connu en électronique du signal numérique.

La série de Fourier du signal tronqué s'écrit :

\displaystyle u(t)=\sum_{k=0}^{4}{\frac{4}{(2k+1)\pi}\sin\left((2k+1)\omega t% \right)}

Le Filtrage

Définitions

En électronique, la principale fonctionnalité du filtrage est de supprimer ou modifier les paramètres de certaines composantes fréquentielles d'un signal afin d'extraire les signaux qui contiennent l'information utile. En réalité un filtre permet de sélectionner une ou plusieurs plages de fréquences bornées par une ou plusieurs fréquences de coupures. Si l'on injecte un signal $\displaystyle x(t)=a_{x_{0}}+\sum_{n=1}^{\infty}{c_{x_{n}}\sin(n\omega t+\phi_% {x_{n}})}$ à l'entrée d'un filtre on obtient en sortie un signal $\displaystyle y(t)=a_{y_{0}}+\sum_{n=1}^{\infty}{c_{y_{n}}\sin(n\omega t+\phi_% {y_{n}})}$ dans lequel certains paramètres c_{x_n} et φ_{x_n} sont modifiés : c_{y_n}=k_nc_{x_n} et φ_{y_n}=φ_{x_n}+α_n avec k_n et α_n qui sont les paramètres du filtre.

On distingue 3 principales catégories de filtre :

Passe-bas qui ne conserve que les fréquences inférieures à la fréquence de coupure f_c, $\displaystyle y(t)=a_{y_{0}}+\sum_{n=1}^{N}{c_{y_{n}}\sin(n\omega t+\phi_{y_{n% }})}$ .
Passe-haut qui ne conserve que les fréquences supérieures à la fréquence de coupure f_c, $\displaystyle y(t)=\sum_{n=N}^{\infty}{c_{y_{n}}\sin(n\omega t+\phi_{y_{n}})}$ (la valeur infinie est puremement théorique, car les systèmes physiques ont toujours une fréquence de coupure haute).
Passe-bande qui ne conserve que les fréquences comprises entre deux fréquences de coupures f_c1 et f_c2 $\displaystyle y(t)=\sum_{n=N_{1}}^{N_{2}}{c_{y_{n}}\sin(n\omega t+\phi_{y_{n}})}$ .

Les définitions des signaux de sortie y(t) correspondent à des signaux en sortie de filtres idéaux.

Modélisation

L'analyse et la synthèse des filtre se fait dans le domaine fréquentiel ou le domaine de Laplace (p=jω) en régime permanent. On définit ainsi la fonction de transfert du filtre : $\displaystyle H(j\omega)=\frac{V_{s}(j\omega)}{V_{e}(j\omega)}$ ou $\displaystyle H(p)=\frac{V_{s}(p)}{V_{e}(p)}$ avec $\displaystyle H(p)=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{a_{k}p^{k}}}{% \displaystyle\sum_{l=0}^{m}{a_{l}p^{l}}}$ .
On visualise le comportement de ce filtre en traçant le module ||H(jω)|| et l'argument arg(H(jω)) en fonction de la pulsation ω. Ce tracé peut être fait sur des échelles linéaires qui on l'inconvénient de ne pas toujours mettre en évidende ce qui se passe autour des fréquences de coupure. C'est pourquoi on utilise une échelle logarithmique pour l'abscisse ω et le logarithme du module : G_dB(ω)=20 log₁₀(||H(jω||) pour l'ordonnée (toujours le logarithme à base 10), c'est le diagramme de Bode.

Pulsation de coupure et bande passante

La fréquene de coupure f_c ou pulsation de coupure ω_c est définie pour une valeur de gain correspondant au gain dans la bande passante diminué de 3dB :
$\displaystyle G_{dB}(\omega)|_{\omega=\omega_{c}}=20\log_{10}(||H_{0}||)-3$ Cela équivaut à diviser le module obtenu dans la bande passante (H₀) par √2 : $\displaystyle||H(j\omega)||_{\omega=\omega_{c}}=\frac{H_{0}}{\sqrt{2}}$

La valeur de la bande passante dépend du type de filtre

passe-bas : ω ∈ [0,ω_c]
passe-haut : ω ∈ [ω_c,∞[ (puremement théorique, car les systèmes physiques ont toujours une fréquence de coupure haute)
passe-bande : ω ∈ [ω_c₁,ω_c₁]

Tracé des formes canoniques

Pour chaque type de filtre, on trace les diagrammes linéaires et logarithmiques (Bode) normalisés en posant x=ω/ω₀ et le module dans la bande passante égal à 1 (gain = 0dB). Il est très facile de déduire un diagramme de bode pour des valeurs de gain différentes de 0dB, il suffit de déplacer verticalement la courbe de 20log₁₀(K) pour un module K dans la bande passante.

Les graphes qui suivent montrent l'intérêt d'utiliser le diagramme de Bode plutôt que la représentation linéaire.

Forme canonique du premier ordre

Filtre passe-bas

Le modèle est de la forme  : 

			      H  ⁢    (  p  )      =        H  0      1  +    p    ω  0             
			ou 
			      H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =        H  0      1  +    j  ⁢    ω    ω  0               
			, avec H0>0.
Le module est :
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||    =        H  0        1  +      ω  2      ω  0  2                
			

			L'argument est :
			

			      ∠  ⁢  H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )      =    -    arctan  ⁡    (      ω    ω  0        )          
			
La pulsation de coupure à -3dB est ωc=ω0
Les limites lorsque ω → 0 et ω → ∞ sont :
			

			              lim    ω  →  0      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =    H  0                    lim    ω  →  0      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    0  ⁢  °            
			et
			              lim    ω  →  ∞      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =  0                  lim    ω  →  ∞      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    -    90  ⁢  °              			
			

Le tracé est normalisé avec H₀=1 et x=ω/ω₀. Sur les graphes on retrouve bien la pulsation de coupure à x=1 avec un argument qui vaut -45°. On a également les limites :

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{x\to 0}{G(x)}=0dB\\ \lim_{x\to 0}{\phi(x)}=0°\\ \end{array}\par

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{x\to\infty}{G(x)}=-\infty\\ \lim_{x\to\infty}{\phi(x)}=-90°\\ \end{array}\par

qui correspondent bien à la définition du filtre passe-bas.

Lorsque x → ∞ la courbe du module tend vers une droite de pente -20dB/décade ou encore -6dB/octave ce qui signifie qu'un rapport de 10 entre deux valeurs de ω donne une différence de -20dB pour le module et un argument de -90°. Le tracé de ces limites correspond au tracé des asymptotes (en vert clair sur le diagramme de Bode).

Filtre passe-haut

Le modèle est de la forme

			      H  ⁢    (  p  )      =          H  0    ⁢    p    ω  0          1  +    p    ω  0             
			ou
			      H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =          H  0    ⁢      j  ⁢  ω      ω  0          1  +    j  ⁢    ω    ω  0                
			, avec H0>0.
Le module est :
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||    =          H  0    ⁢    ω    ω  0            1  +      ω  2      ω  0  2                
			

			L'argument est :
			

			      ∠  ⁢  H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )      =        π  2      -    arctan  ⁡    (      ω    ω  0        )          
			
La pulsation de coupure à -3dB est ωc=ω0
Les limites lorsque ω → 0 et ω → ∞ sont :
			

			              lim    ω  →  0      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =  0                  lim    ω  →  0      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    90  ⁢  °            
			et
			              lim    ω  →  ∞      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =    H  0                    lim    ω  →  ∞      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    0  ⁢  °            
			

Le tracé est toujours normalisé avec H₀=1 et x=ω/ω₀. Sur les graphes on retrouve bien la pulsation de coupure à x=1 avec un argument qui vaut 45°. On a également les limites :

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to 0}{G(x)}=-\infty\\ \lim_{\omega\to 0}{\phi(x)}=90°\\ \end{array}

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to\infty}{G(jx)}=0dB\\ \lim_{\omega\to\infty}{\phi(x)}=0°\\ \end{array}

qui correspondent bien à la définition du filtre passe-haut.

Lorsque x → 0 la courbe du module tend vers une droite de pente 20dB/décade ou encore 6dB/octave ce qui signifie qu'un rapport de 10 entre deux valeurs de ω donne une différence de 20dB pour le module et un argument de 90°. Le tracé de ces limites correspond au tracé des asymptotes (en vert clair sur le diagramme de Bode).

Forme canonique du deuxième ordre

Filtre passe-bas

Le modèle est de la forme  : 

			      H  ⁢    (  p  )      =        H  0          p  2      ω  0  2      +        2  ⁢  ξ      ω  0      ⁢  p    +  1          
			ou 
			      H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =        H  0        1  -      ω  2      ω  0  2        +    j  ⁢      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0                
			, avec H0>0.
Le module est :
			
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||    =        H  0            (    1  -      ω  2      ω  0  2        )    2    +      (      2  ⁢  ξ      ω  0      )    2              
			
			L'argument est :
			
			      arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )      =      -    arctan  ⁡    (          2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0        1  -      ω  2      ω  0  2            )        +    k  ⁢  π        
			
			avec k=0 pour ω ≤ ω0 et k=-1 pour ω > ω0.
			
La pulsation de coupure à -3dB est
			
			      ω  c    =      ω  0    ⁢        (    1  -    2  ⁢    ξ  2        )    +          (      2  ⁢    ξ  2      -  1    )    2    +  1              
			
Le module est maximum pour 
			      ω  M    =      ω  0    ⁢      1  -    2  ⁢    ξ  2              
			, existe pour
			    ξ  <      1    2          
			et vaut
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢    ω  M      )      ||    =        H  0      2  ⁢  ξ  ⁢      1  -    ξ  2                
			
Les limites lorsque ω → 0 et ω → ∞ sont :
			
			              lim    ω  →  0      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =    H  0                    lim    ω  →  0      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    0  ⁢  °            
			et
			              lim    ω  →  ∞      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =  0                  lim    ω  →  ∞      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    -    180  ⁢  °

Voir le détail du calcul de la pulsation de coupure à -3dB

Il faut résoudre

\displaystyle\frac{H_{0}}{\sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}% \right)^{2}+\left(\frac{2\xi\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}}=\frac{H_{0}}{% \sqrt{2}}

\displaystyle\left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{% 2\xi\omega}{\omega_{0}}\right)^{2}=2

et en coordonnées réduites

\displaystyle\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}=2

On obtient l'équation bi-carrée :

\displaystyle x^{4}+2(2\xi^{2}-1)x^{2}-1=0

en utilisant x²=X, on obtient l'équation du second degré

\displaystyle X^{2}+2(2\xi^{2}-1)X^{2}-1=0

\displaystyle\Delta^{\prime}=(2\xi^{2}-1)^{2}-1

qui est toujours positif ou nul, on en déduit la racine positive qui correspond à x²

\displaystyle x^{2}=1-2\xi^{2}+\sqrt{(2\xi-1)^{2}+1}

qui est toujours positif. On ne retient que la racine positif, et on déduit x et donc ω_c

\displaystyle x=\sqrt{1-2\xi^{2}+\sqrt{(2\xi-1)^{2}+1}}

\displaystyle\omega_{c}=\omega_{0}\sqrt{1-2\xi^{2}+\sqrt{(2\xi-1)^{2}+1}}

Voir le détail du calcul de la valeur maximale

Pour calculer la valeur maximale, il faut résoudre ||H(jω)||'=0, on va donc calculer la dérivée du module en utilisant les coordonnées réduites

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}||H(jx)||^{\prime}&=&\left(\frac{1}{\sqrt{(1-% x^{2})^{2}+(2\xi x)^{2}}}\right)^{\prime}\\ &=&-\frac{\left((1-x^{2})^{2}+(2\xi x)^{2}\right)^{\prime}}{2\sqrt{[(1-x^{2})^% {2}+(2\xi x)^{2}]^{3}}}\\ &=&-\frac{-4x+4x^{3}+8\xi^{2}x}{2\sqrt{\left[(1-x^{2})^{2}+(2\xi x)^{2}\right]% ^{3}}}\\ &=&-\frac{4x^{3}+4(2\xi^{2}-1)x}{2\sqrt{\left[(1-x^{2})^{2}+(2\xi x)^{2}\right% ]^{3}}}\\ \end{array}

On cherche les valeurs positives de x qui annulent le numérateur

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}4x_{M}^{3}+4(2\xi^{2}-1)x_{M}&=&0\\ x_{M}^{2}&=&1-2\xi^{2}\\ x_{M}&=&\sqrt{1-2\xi^{2}}\\ \end{array}

avec

\displaystyle\xi<\frac{1}{\sqrt{2}}

.
la valeur maximale est

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}||H(jx_{M})||&=&\frac{1}{\sqrt{\left(1-(1-2% \xi^{2})\right)^{2}+4\xi^{2}(1-2\xi^{2})}}\\ &=&\frac{1}{\sqrt{\left(2\xi^{2}\right)^{2}+4\xi^{2}-8\xi^{4}}}\\ &=&\frac{1}{\sqrt{4\xi^{4}+4\xi^{2}-8\xi^{4}}}\\ &=&\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^{2}}}\\ \end{array}

Le tracé est toujours normalisé avec H₀=1 et x=ω/ω₀. Les limites sont :

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to 0}{G(x)}=0dB\\ \lim_{\omega\to 0}{\phi(x)}=0°\\ \end{array}

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to\infty}{G(x)}=-\infty\\ \lim_{\omega\to\infty}{\phi(x)}=-180°\\ \end{array}

qui correspondent bien à la définition du filtre passe-bas.

Lorsque x → ∞ la courbe du module tend vers une droite de pente -40dB/décade ou encore -12dB/octave ce qui signifie qu'un rapport de 10 entre deux valeurs de ω donne une différence de -40dB pour le module et un argument de -180°. Le tracé de ces limites correspond au tracé des asymptotes (en vert clair sur le diagramme de Bode).

On peut tracer un diagramme de bode plus précis lorsque ξ > 1 en décomposant la fonction de transfert d'ordre 2 en un produit de fonctions de transfert d'ordre 1, ce qui correspond à une "addition" des diagrammes asymptotiques sur le diagramme de Bode. Cette modification apparaît en orange sur le graphe. Cette droite de pente -20dB/decade apparaît entre les points d'abscisses $\displaystyle x_{1}=\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}$ et $\displaystyle x_{2}=\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}$ . Cela correspond, respectivement, aux pulsations $\displaystyle\omega_{1}=\omega_{0}\left(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}\right)$ et $\displaystyle\omega_{2}=\omega_{0}\left(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}\right)$

Filtre passe-haut

Le modèle est de la forme  : 

			      H  ⁢    (  p  )      =          H  0    ⁢      p  2      ω  0  2              p  2      ω  0  2      +        2  ⁢  ξ      ω  0      ⁢  p    +  1          
			ou 
			      H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =        -      H  0    ⁢      ω  2      ω  0  2              1  -      ω  2      ω  0  2        +    j  ⁢      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0                
			, avec H0>0.
Le module est :
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||    =          H  0    ⁢      ω  2      ω  0  2                (    1  -      ω  2      ω  0  2        )    2    +      (      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0      )    2              
			

			L'argument est :
			

			      arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )      =      k  ⁢  π    -    arctan  ⁡    (          2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0        1  -      ω  2      ω  0  2            )          
			

			avec k=1 pour ω ≤ ω0 et k=0 pour ω > ω0.
			
La pulsation de coupure à -3dB est
			

			      ω  c    =      ω  0    ⁢        (      2  ⁢    ξ  2      -  1    )    +          (    1  -    2  ⁢    ξ  2        )    2    +  1              
			
Le module est maximum pour 
			      ω  M    =      ω  O    ⁢      1      1  -    ξ  2                
			, existe pour
			    ξ  <      1    2          
			et vaut
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢    ω  M      )      ||    =        H  0      2  ⁢  ξ  ⁢      1  -    ξ  2                 
			
Les limites lorsque ω → 0 et ω → ∞ sont :
			

			              lim    ω  →  0      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =  0                  lim    ω  →  0      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    180  ⁢  °            
			et
			              lim    ω  →  ∞      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =    H  0                    lim    ω  →  ∞      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    0  ⁢  °            
			

Voir le détail du calcul de la pulsation de coupure à -3dB

Il faut résoudre

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{H_{0}\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}}% {\sqrt{\left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2\xi% \omega}{\omega_{0}}\right)^{2}}}&=&\frac{H_{0}}{\sqrt{2}}\\ \end{array}

qui donne en coordonnées réduites

\displaystyle\frac{x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}+(2\xi x)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle(1-x^{2})^{2}+(2\xi x)^{2}=2x^{4}

on obtient l'équation bi-carrée

\displaystyle x^{4}+2(1-2\xi^{2})x^{2}-1=0

qui donne la racine positive

\displaystyle x_{c}=\sqrt{2\xi^{2}-1+\sqrt{(1-2\xi^{2})^{2}+1}}

Voir le détail du calcul de la valeur maximale

Pour calculer la valeur maximale, il faut résoudre ||H(jω)||'=0, on va donc calculer la dérivée du module en utilisant les coordonnées réduites

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}||H(jx)||^{\prime}&=&\left(\frac{x^{2}}{\sqrt% {\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}}}\right)^{\prime}\\ &=&\frac{2x\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}}-\frac{x^{2}% }{2}\frac{\left(\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}\right)^{% \prime}}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}}}}{\left(1-x^{% 2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}}\\ &=&\frac{4x(1-2x^{2}+x^{4}+4\xi^{2}x^{2})-4x^{2}(x^{3}+(2\xi^{2}-1)x)}{\sqrt{% \left[\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^{2}\right]^{3}}}\\ &=&\frac{4x(1-(1-2\xi^{2})x^{2})}{\sqrt{\left[\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2% \xi x\right)^{2}\right]^{3}}}\end{array}

On cherche les valeurs positives de x qui annulent le numérateur

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}1-(1-2\xi^{2})x_{M}^{2}&=&0\\ x_{M}&=&\frac{1}{\sqrt{1-2\xi^{2}}}\end{array}

avec

\displaystyle\xi<\frac{1}{\sqrt{2}}

La valeur maximale est

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}||H(jx_{M})||&=&\frac{\frac{1}{1-2\xi^{2}}}{% \sqrt{\left(1-\frac{1}{1-2\xi^{2}}\right)^{2}+\frac{4\xi^{2}}{1-2\xi^{2}}}}\\ &=&\frac{\frac{1}{1-2\xi^{2}}}{\sqrt{\frac{4\xi^{4}}{\left(1-2\xi^{2}\right)^{% 2}}+\frac{4\xi^{2}\left(1-2\xi^{2}\right)}{\left(1-2\xi^{2}\right)^{2}}}}\\ &=&\frac{1}{\sqrt{4\xi^{2}-4\xi^{4}}}\\ &=&\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^{2}}}\end{array}

Le tracé est toujours normalisé avec H₀=1 et x=ω/ω₀. Les limites sont :

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to 0}{G(x)}=-\infty\\ \lim_{\omega\to 0}{\phi(x)}=180°\\ \end{array}

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to\infty}{G(x)}=0dB\\ \lim_{\omega\to\infty}{\phi(x)}=0°\\ \end{array}

qui correspondent bien à la définition du filtre passe-haut.

Lorsque x → 0 la courbe du module tend vers une droite de pente 40dB/décade ou encore 12dB/octave ce qui signifie qu'un rapport de 10 entre deux valeurs de ω donne une différence de 40dB pour le module et un argument de 180°. Le tracé de ces limites correspond au tracé des asymptotes (en vert clair sur le diagramme de Bode).

On peut tracer un diagramme de bode plus précis lorsque ξ > 1 en décomposant la fonction de transfert d'ordre 2 en un produit de fonctions de transfert d'ordre 1, ce qui correspond à une "addition" des diagrammes asymptotiques sur le diagramme de Bode. Cette modification apparaît en orange sur le graphe. Cette droite de pente 20dB/decade apparaît entre les points d'abscisses $\displaystyle x_{1}=\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}$ et $\displaystyle x_{2}=\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}$ . Cela correspond, respectivement, aux pulsations $\displaystyle\omega_{1}=\omega_{0}\left(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}\right)$ et $\displaystyle\omega_{2}=\omega_{0}\left(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}\right)$

Filtre passe-bande

Le modèle est de la forme  : 

			      H  ⁢    (  p  )      =          H  0    ⁢      2  ⁢  ξ      ω  0      ⁢  p          p  2      ω  0  2      +        2  ⁢  ξ      ω  0      ⁢  p    +  1          
			ou 
			      H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      =          H  0    ⁢  j  ⁢      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0            1  -      ω  2      ω  0  2        +    j  ⁢      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0                
			, avec H0>0.
Le module est :
			      ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||    =          H  0    ⁢    |      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0      |              (    1  -      ω  2      ω  0  2        )    2    +      (      2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0      )    2              
			
			L'argument est :
			
			      arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )      =        π  2      -    arctan  ⁡    (          2  ⁢  ξ  ⁢  ω      ω  0        1  -      ω  2      ω  0  2            )          
			
Les pulsations de coupure à -3dB sont
			
			      ω    c    1  ,  2        =      ω  0    ⁢        (      2  ⁢    ξ  2      +  1    )    ±          (      2  ⁢    ξ  2      +  1    )    2    -  1              
			
Le module est maximum pour ωM=ω0 et vaut ||H(jωM)||=H0
			
Les limites lorsque ω → 0 et ω → ∞ sont :
			
			              lim    ω  →  0      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =  0                  lim    ω  →  0      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    90  ⁢  °            
			et
			              lim    ω  →  ∞      ⁡    ||    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      ||      =  0                  lim    ω  →  ∞      ⁡    arg  ⁡    (    H  ⁢    (    j  ⁢  ω    )      )        =    -    90  ⁢  °

Voir le détail du calcul de la pulsation de coupure à -3dB

Il faut résoudre

\displaystyle\frac{H_{0}\left|\frac{2\xi\omega}{\omega_{0}}\right|}{\sqrt{% \left(1-\frac{\omega^{2}}{\omega_{0}^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2\xi\omega}{% \omega_{0}}\right)^{2}}}=\frac{H_{0}}{\sqrt{2}}

qui donne en coordonnées réduites

\displaystyle\frac{2\xi x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)^% {2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

\displaystyle\frac{4\xi^{2}x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}+\left(2\xi x\right)% ^{2}}=\frac{1}{2}

on obtient l'équation bi-carrée

\displaystyle x^{4}-2(2\xi^{2}+1)x^{2}+1=0

qui donne les racines positives

\displaystyle x_{c_{1,2}}=\sqrt{(2x^{2}+1)\pm\sqrt{(2\xi^{2}+1)^{2}-1}}

Le tracé est toujours normalisé avec H₀=1 et x=ω/ω₀. Les limites sont :

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to 0}{G(x)}=-\infty\\ \lim_{\omega\to 0}{\phi(x)}=90°\\ \end{array}

\displaystyle\begin{array}[]{l}\lim_{\omega\to\infty}{G(x)}=-\infty\\ \lim_{\omega\to\infty}{\phi(x)}=-90°\\ \end{array}

qui correspondent bien à la définition du filtre passe-bande.

On peut tracer un diagramme de bode plus précis lorsque ξ > 1 en décomposant la fonction de transfert d'ordre 2 en un produit de fonctions de transfert d'ordre 1, ce qui correspond à une "addition" des diagrammes asymptotiques sur le diagramme de Bode. Cette modification apparaît en orange sur le graphe. Cette droite de pente 0dB/decade apparaît entre les points d'abscisses $\displaystyle x_{1}=\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}$ et $\displaystyle x_{2}=\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}$ . Cela correspond, respectivement, aux pulsations $\displaystyle\omega_{1}=\omega_{0}\left(\xi-\sqrt{\xi^{2}-1}\right)$ et $\displaystyle\omega_{2}=\omega_{0}\left(\xi+\sqrt{\xi^{2}-1}\right)$

La forme canonique du filtre passe-bande est quelques fois présentée sous la forme

\displaystyle H(j\omega)=\frac{H_{0}}{1+jQ\left(\frac{\omega}{\omega_{0}}-% \frac{\omega_{0}}{\omega}\right)}

avec

\displaystyle Q=\frac{1}{2\xi}

qui est le coefficient de qualité. En remplaçant Q par sa valeur on retrouve aisément la forme canonique présentée auparavant.

Réalisation de filtres avec des résistances et des condensateurs

On trace les diagrammes de Bode uniquement pour les montages qui le nécessitent, il est préférable d'utiliser les translations sur les diagrammes des formes canoniques. Il suffit de calculer les valeurs des formes canoniques (H₀ , ω₀ et ξ pour un ordre 2) à partir des composants afin de pouvoir utiliser directement les formes canoniques sans tracer aucun diagramme supplémentaire.

Remarque : Pour choisir les composants en fonction de la pulsation de coupure, on commence par choisir les condensateurs dans la série la plus courante E3, puis on calcule la valeur des résistancs et choisit les valeurs les plus proches, en général, dans la série E12 ou E24.

Filtre du premier ordre

On calcule le rapport entre tension d'entrée et tension de sortie en appliquant le pont diviseur de tension.

\displaystyle H(p)=\frac{V_{s}(p)}{V_{e}(p)}=\frac{\frac{1}{Cp}}{R+\frac{1}{Cp% }}=\frac{1}{1+RCp}

On a un filtre passe-bas de premier ordre avec H₀=1 et

\displaystyle\omega_{c}=\omega_{0}=\frac{1}{RC}

On peut obtenir le type de filtre sans calcul en déterminant les limites en ω → 0 et ω → ∞ directement à partir du schéma, en considérant que les condensateurs sont des circuits ouvert en continu (ω=0) et des court-circuits lorsque ω → ∞

ω → 0 : i=0 donc V_s=V_e qui donne ||H(jω)||=1
ω → ∞ : V_s=0 qui donne ||H(jω)||=0

On a bien un filtre passe-bas.

On calcule le rapport entre tension d'entrée et tension de sortie en appliquant le pont diviseur de tension.

\displaystyle H(p)=\frac{V_{s}(p)}{V_{e}(p)}=\frac{R}{R+\frac{1}{Cp}}=\frac{% RCp}{1+RCp}

On a un filre passe-haut de premier ordre avec H₀=1 et

\displaystyle\omega_{c}=\omega_{0}=\frac{1}{RC}

On procède de même :

ω → 0 : V_s=0 qui donne ||H(jω)||=0
ω → ∞ : V_s=V_e qui donne ||H(jω)||=1

On a bien un filtre passe-haut.

Filtre du deuxième ordre

On ne peut pas appliquer le pont diviseur de tension au point A, car il existe un deuxième circuit RC. On va donc utiliser deux équations, la première pour calculer V_A et fonction de V_e et V_s en utilisant le théorème de Millmann et la deuxième pour exprimer V_A en fonction de V_s en utilisant cette fois-ci le diviseur de tension.

La même analyse sur les condensateurs donnent :

ω → 0 : i=0 donc V_s=V_e qui donne ||H(jω)||=1
ω → ∞ : V_s=0 qui donne ||H(jω)||=0

On a bien un filtre passe-bas.

\displaystyle V_{A}=\frac{\frac{V_{e}}{R}+\frac{V_{s}}{R}}{\frac{1}{R}+\frac{1% }{R}+Cp}=\frac{V_{e}+V_{s}}{2+RCp}

\displaystyle V_{s}=\frac{V_{A}}{1+RCp}\Rightarrow V_{A}=(1+RCp)V_{s}

De ces deux équations, on déduit l'équation :

\displaystyle\frac{V_{e}+V_{s}}{2+RCp}=(1+RCp)V_{s}\Rightarrow V_{e}+V_{s}=(2+% RCp)(1+RCp)V_{s}

qui donne :

\displaystyle V_{e}=[(2+RCp)(1+RCp)-1]V_{s}\Rightarrow\frac{V_{s}}{V_{e}}=% \frac{1}{(2+RCP)(1+RCp)-1}

On obtient finalement

\displaystyle H(p)=\frac{V_{s}}{V_{e}}=\frac{1}{R^{2}C^{2}p^{2}+3RCp+1}

On a un filtre passe-bas d'ordre 2 avec H₀=1 ,

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{RC}

\displaystyle\xi=\frac{3}{2}

\displaystyle\omega_{c}=\omega_{0}\sqrt{\frac{-7+\sqrt{53}}{2}}\approx 0,374% \omega_{0}

. Cette valeur correspond à la valeur lue sur le diagramme de Bode du filtre passe-bas d'ordre 2.

La méthode de calcul est identique à la méthode précédente.

La même analyse donne :

ω → 0 : V_s=0 qui donne ||H(jω)||=0
ω → ∞ : V_s=V_e qui donne ||H(jω)||=1

On a bien un filtre passe-haut.

\displaystyle V_{A}=\frac{V_{e}Cp+V_{s}Cp}{Cp+\frac{1}{R}}=\frac{V_{e}RCp+V_{s% }RCp}{2RCp+1}

\displaystyle V_{s}=V_{A}\frac{RCp}{1+RCp}\Rightarrow V_{A}=V_{s}\frac{1+RCp}{RCp}

On déduit l'équation

\displaystyle\frac{V_{e}RCp+V_{s}RCp}{2RCP+1}=V_{s}\frac{1+RCp}{RCp}% \Rightarrow V_{s}=\frac{V_{e}R^{2}C^{2}p^{2}+V_{s}R^{2}C^{2}p^{2}}{(1+RCp)(2% RCp+1)}

qui donne

\displaystyle V_{s}(1+RCp)(2RCp+1)=V_{e}R^{2}C^{2}p^{2}+V_{s}R^{2}C^{2}p^{2}

On obtient

\displaystyle H(p)=\frac{V_{s}}{V_{e}}=\frac{R^{2}C^{2}p^{2}}{R^{2}C^{2}p^{2}+% 3RCp+1}

On a un filtre passe-haut d'ordre 2 avec H₀=1 ,

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{RC}

\displaystyle\xi=\frac{3}{2}

\displaystyle\omega_{c}=\omega_{0}\sqrt{\frac{7+\sqrt{53}}{2}}\approx 2,67% \omega_{0}

Cette valeur correspond à la valeur lue sur le diagramme de Bode du filtre passe-haut d'ordre 2.

On utilise le pont diviseur de tension avec deux impédances, la première composée du circuit RC série $\displaystyle Z_{1}=R+\frac{1}{Cp}=\frac{RCp+1}{Cp}$ et la deuxième avec le circuit RC parallèle $\displaystyle Z_{2}=\frac{\frac{R}{Cp}}{R+\frac{1}{Cp}}=\frac{R}{RCp+1}$ .

La même analyse donne :

ω → 0 : V_s=0 qui donne ||H(jω)||=0
ω → ∞ : V_s=0 qui donne ||H(jω)||=0

On a bien un filtre passe-bande.

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2% }}\\ &=&\frac{\frac{R}{RCp+1}}{\frac{RCp+1}{Cp}+\frac{R}{RCp+1}}\\ &=&\frac{RCp}{(RCp+1)^{2}+RCp}\\ &=&\frac{RCp}{R^{2}C^{2}p^{2}+2RCp+1+RCp}\\ \end{array}

On obtient finalement

\displaystyle H(p)=\frac{RCp}{R^{2}C^{2}p^{2}+3RCp+1}

On a un filtre passe-bande avec

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{RC}

\displaystyle\xi=\frac{3}{2}

\displaystyle H_{0}=\frac{1}{3}

\displaystyle\omega_{c_{1,2}}=\omega_{0}\sqrt{\frac{13\pm\sqrt{165}}{2}}

.
Les deux pulsations de coupure sont ω_c₁≈0,28 ω₀ et ω_c₂≈3,6 ω₀. Ces valeurs correspondent aux valeurs lues sur le diagramme de Bode du filtre passe-bande.

Application numérique

On propose de tracer un diagramme de Bode, on pourra télécharger la version papier des echelles log pour s'entraîner

Prendre un crayon et une feuille semi-logarithmique, choisir l'ordre du système : , choisir le type de filtre : puis demander

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