Filtrage à amplificateur opérationnel

Modélisation

Présentation

Comme cela a déjà été présenté dans le chapitre filtrage des circuits en courant alternatif la fonction de transfert d'un filtre est de la forme :

\displaystyle H(p)=\frac{\displaystyle\sum_{l=0}^{m}{b_{l}p^{l}}}{% \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{a_{k}p^{k}}}

avec m ≤ n (degré du numérateur inférieur ou égal au degré du dénominateur).

Avec les AOP, il est possible de mettre en cascade plusieurs filtres d'ordre 2 ou 1, afin de faire un filtre d'ordre n. On va donc exprimer la fonction de transfert, en fonction de contraintes exprimées dans un gabarit de filtre, comme par exemple :

					      H  ⁢    (  p  )      =        b  0          ∑    k  =  0    n          a  k    ⁢      (      p    ω  0        )    k            =          b  0    ⁢    ω  0  n            ∑    k  =  0    n          a  k    ⁢    ω  0    n  -  k      ⁢    p  k              
				
avec a0=1 et/ou an=1
Gabarit de filtre passe-bas où f1 représente la fréquence de coupure, H1 représente le gain à la fréquence de coupure.
				f2 et H2 représentent respectivement la fréquence et le gain de la bande atténuée.
				

					      H  ⁢    (  p  )      =          b  n    ⁢      (    p    ω  0      )    n            ∑    k  =  0    n          a  k    ⁢      (      p    ω  0        )    k            =          b  n    ⁢    p  n            ∑    k  =  0    n          a  k    ⁢    ω  0    n  -  k      ⁢    p  k              
				
avec a0=1 et/ou an=1
Gabarit de filtre passe-haut où f2 représente la fréquence de coupure, H1 représente le gain à la fréquence de coupure.
				f1 et H2 représentent respectivement la fréquence et le gain de la bande atténuée.
				

					      H  ⁢    (  p  )      =          b  n    ⁢      (    p    ω  0      )    n            ∑    k  =  0      2  ⁢  n            a  k    ⁢      (      p    ω  0        )    k            =          b  n    ⁢    ω  0    2  ⁢  n      ⁢    p  n            ∑    k  =  0      2  ⁢  n            a  k    ⁢    ω  0      2  ⁢  n    -  k      ⁢    p  k              
				
avec a0=1 et/ou an=1
Gabarit de filtre passe-bande où f2 et f3 représentent les fréquences de coupure, 
				H1 représente le gain aux fréquences de coupure.
				f1 ,f4  et H2 représentent respectivement les fréquences et le gain de la bande atténuée.
				

Ces gabarits fournissent la ou les fréquences de coupures ainsi que la pente du filtre pour passer de la bande passante à la bande atténuée. A partir de ces paramètres, on utilise des méthodes de modélisation comme celle des filtres de Butterworth ou encore des filtres de Tchebychev pour calculer la fonction de transfert.

Modélisation de Butterworth

Principe

L'expression du module est de la forme $\displaystyle||H(jx)||^{2}=\frac{1}{1+x^{2n}}$ avec $\displaystyle x=\frac{\omega}{\omega_{0}}$ .

Quelque soit la valeur de n on a toujours la même valeur en x=1 : $\displaystyle||H(jx)||_{x=1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Ce qui signifie que la fréquence de coupure de ce filtre à -3dB est toujours ω₀ quelque soit l'ordre n du filtre.

Les racines du dénomiteur (pôles) sont solution de l'équation : $\displaystyle 1+(x^{2})^{n}=0\Rightarrow(x^{2})^{n}=-1=e^{j(2k-1)\pi}$ avec k=1,2,3,...,n. Ce qui donne : $\displaystyle x=e^{j\frac{(2k-1)\pi}{2n}}$ sur l'intervalle [0,π].
Pour que le filtre soit stable, il faut conserver uniquement les pôles à partie réelle négative, on applique donc une rotation de π/2, ce qui donne $\displaystyle x=e^{j\frac{(2k-1)\pi}{2n}+j\frac{\pi}{2}}=e^{j\frac{(2k-1+n)\pi% }{2n}}$

Le tableau, en fin de paragraphe, donne les premiers polynômes du dénominateur des filtres de Butterworth, avec la décomposition en produit de polynômes d'ordre 2 et éventuellement ordre 1 lorsque n est impair. Il suffit ensuite de mettre en cascade ces filtres d'ordre 2 et 1 pour obtenir le filtre complet.

Synthèse d'un filtre

On va maintenant chercher à déterminer la pulsation ω₀ et l'ordre n du filtre de Butterworth en fonction d'un gabarit de filtre. On doit trouver ces paramètres pour que la courbe du module du filtre de Butterworth reste à l'intérieur du gabarit comme cela est montré sur la figure.

On exprime les valeurs de la fonction de transfert aux points (f₁,H₁) et (f₂,H₂) :

\displaystyle||H(jf)||_{f=f_{1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{1}}{f_{0}}% \right)^{2n}}}=H_{1}\Rightarrow\left(\frac{f_{1}}{f_{0}}\right)^{2n}=\frac{1}{% H_{1}^{2}}-1

\displaystyle||H(jf)||_{f=f_{2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{f_{2}}{f_{0}}% \right)^{2n}}}=H_{2}\Rightarrow\left(\frac{f_{2}}{f_{0}}\right)^{2n}=\frac{1}{% H_{2}^{2}}-1

on fait le quotient de ces deux équations afin de déterminer le degré n qui représente la pente du filtre.

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{2n}&=&\frac% {\frac{1}{H_{2}^{2}-1}}{\frac{1}{H_{1}^{2}-1}}\\ \log_{10}\left(\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)^{2n}\right)&=&\log_{10}\left(% \frac{\frac{1}{H_{2}^{2}-1}}{\frac{1}{H_{1}^{2}-1}}\right)\\ 2n\log_{10}\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)&=&\log_{10}\left(\frac{1}{H_{2}^{2% }-1}\right)-\log_{10}\left({\frac{1}{H_{1}^{2}-1}}\right)\\ n&=&\frac{1}{2}\frac{\log_{10}\left(\frac{1}{H_{2}^{2}}-1\right)-\log_{10}% \left(\frac{1}{H_{1}^{2}}-1\right)}{\log_{10}(f_{2})-\log_{10}(f_{1})}\\ \end{array}

Ce qui donne, avec des gains exprimés en dB, en prenant G₁=20log₁₀(H₁) et G₂=20log₁₀(H₂) :

\displaystyle n=\frac{1}{2}\frac{\log_{10}\left(10^{-\frac{G_{2}}{10}}-1\right% )-\log_{10}\left(10^{-\frac{G_{1}}{10}}-1\right)}{\log_{10}(f_{2})-\log_{10}(f% _{1})}

sans oublier de prendre la valeur entière immédiatement supérieure

\displaystyle n=\left\lceil\frac{1}{2}\frac{\log_{10}\left(10^{-\frac{G_{2}}{1% 0}}-1\right)-\log_{10}\left(10^{-\frac{G_{1}}{10}}-1\right)}{\log_{10}(f_{2})-% \log_{10}(f_{1})}\right\rceil

On peut maintenant exprimer f₀ en utilisant une des deux premières relations

\displaystyle f_{0}=\frac{f_{1}}{\sqrt[2n]{\frac{1}{H_{1}^{2}}-1}}

ou encore avec le gain exprimé en dB

\displaystyle f_{0}=\frac{f_{1}}{\sqrt[2n]{10^{-\frac{G_{1}}{10}}-1}}

Tableau des premiers polynômes des dénominateurs

degré	D_n(p)	décomposition	coefficients ξ
1	$p + 1$	$p + 1$
2	$p^{2} + 1.4142 p + 1$	$p^{2} + 1.4142 p + 1$	ξ=0.7071
3	$p^{3} + 2 p^{2} + 2 p + 1$	$(p + 1) (p^{2} + p + 1)$	ξ=0.5000
4	$p^{4} + 2.6131 p^{3} + 3.4142 p^{2} + 2.6131 p + 1$	$(p^{2} + 0.7654 p + 1) (p^{2} + 1.8478 p + 1)$	ξ₁=0.3827 ξ₂=0.9239
5	$p^{5} + 3.2361 p^{4} + 5.2361 p^{3} + 5.2361 p^{2} + 3.2361 p + 1$	$(p + 1) (p^{2} + 0.6180 p + 1) (p^{2} + 1.6180 p + 1)$	ξ₁=0.3090 ξ₂=0.8090

Ce tableau donne le polynôme normalisé c'est à dire pour ω₀=1. On va déduire le polynôme réel en remplaçant p par p/ω₀. On obtient ainsi directement la fonction de transfert du filtre passe-bas qui respecte le gabarit.

La fonction de transfert s'écrit

\displaystyle H(p)=\frac{1}{\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}\left(\frac{% p}{\omega_{0}}\right)^{k}}+\left(\frac{p}{\omega_{0}}\right)^{n}}=\frac{\omega% _{0}^{n}}{\displaystyle\omega_{0}^{n}+\sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}\omega_{0}^{n-k}p^% {k}}+p^{n}}

Filtre passe-haut

Le calcul de n et ω₀ reste identique à celui du filtre passe-bas, on obtient le polynôme normalisé :

\displaystyle H(p)=\frac{1}{\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}p^{k}}+p^{n}}

Ensuite on remplace p_B par ω₀/p, la fonction de transfert s'écrit :

\displaystyle H(p)=\frac{1}{\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}\left(\frac{% \omega_{0}}{p}\right)^{k}}+\left(\frac{\omega_{0}}{p}\right)^{n}}

Enfin la fonction de transfert, avec la pulsation du passe-haut ω₁, s'écrit :

\displaystyle H(p)=\frac{\left(\frac{p}{\omega_{1}}\right)^{n}}{\displaystyle 1% +\sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}\left(\frac{p}{\omega_{1}}\right)^{k}}+\left(\frac{p}{% \omega_{1}}\right)^{n}}=\frac{p^{n}}{\displaystyle\omega_{1}^{n}+\sum_{k=1}^{n% -1}{a_{k}\omega_{1}^{n-k}p^{k}}+p^{n}}

Filtre passe-bande

Le calcul de n est toujours identique au filtre passe-bas. On calcule deux valeurs : f_c₀ en fonction de f₁ et f₂ avec la formule utilisée pour calculer f₀ du filtre passe-haut d'une part et, f_c₁ avec la formule utilisée pour calculer la valeur de f₀ du filtre passe-bas d'autre part.

Ensuite on calcule le polynôme de Butterworth normalisé d'ordre n F(p_B) du passe-bas correspondant. on obtient le polynôme normalisé du filtre passe-bande en effectuant la transformation de fréquence en remplaçant p_B de l'expression du filtre passe-bas par $\displaystyle p_{B}=\frac{\sqrt{\omega_{c_{0}}\omega_{c_{1}}}}{\omega_{c_{1}}-% \omega_{c_{0}}}\left(p+\frac{1}{p}\right)$ .

En remplaçant p_B par son expression, la fonction de transfert s'écrit :

\displaystyle H(p)=\frac{1}{\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}\left(\frac{% \sqrt{\omega_{c_{0}}\omega_{c_{1}}}}{\omega_{c_{1}}-\omega_{c_{0}}}\left(p+% \frac{1}{p}\right)\right)^{k}}+\left(\frac{\sqrt{\omega_{c_{0}}\omega_{c_{1}}}% }{\omega_{c_{1}}-\omega_{c_{0}}}\left(p+\frac{1}{p}\right)\right)^{n}}

Enfin on remplace p par p/ω₀.

Après avoir fait le calcul de l'expression, la fonction de transfert s'écrit :

\displaystyle H(p)=\frac{\left(\frac{p}{\omega_{0}}\right)^{n}}{\displaystyle 1% +\sum_{k=1}^{2n-1}{a_{k}\left(\frac{p}{\omega_{0}}\right)^{k}}+\left(\frac{p}{% \omega_{0}}\right)^{2n}}=\frac{\omega_{0}^{2n}p^{n}}{\displaystyle\omega_{0}^{% 2n}+\sum_{k=1}^{2n-1}{a_{k}\omega_{0}^{2n-k}p^{k}}+p^{2n}}

Modélisation de Tchebychev

Principe

L'expression du module d'un filtre de Tchebychev de type 1 est de la forme $\displaystyle||H(jx)||^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}T_{n}^{2}(x)}$ avec $\displaystyle x=\frac{\omega}{\omega_{0}}$ .

T_n(x) est un polynôme de Tchebychev de la forme

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}T_{0}(x)&=&1\\ T_{1}(x)&=&x\\ T_{n+1}(x)&=&2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)\\ \end{array}

ou encore sous sa forme trigonométrique

\displaystyle T_{n}(x)=\left\{\begin{array}[]{lr}\cos(n~{}\arccos(x))&|x|\leq 1% \\ \cosh(n~{}\mathrm{arcosh}(x))&x\geq 1\\ (-1)^{n}\cosh(n~{}\mathrm{arcosh}(-x))&x\leq-1\\ \end{array}\right.

Dans la bande passante, la courbe oscille entre 1 et $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^{2}}}$

Les pôles de la fonction de transfert sont solution de l'équation : $\displaystyle 1+\varepsilon^{2}T_{n}^{2}(x)=0$ .
Les pôles à partie réelle négative s'écrivent (voir Chebyshev filter)

\displaystyle p_{k}=-\sinh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{% \varepsilon}\right)\right)\sin\left(\frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right){}+j~{% }\cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right% )\cos\left(\frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right)

pour k=1,2,3,...,n.

Le tableau, en fin de paragraphe, donne les valeurs des numérateurs et des dénominateurs des premiers filtres de Tchebychev.

Voir le calcul complet des pôles

Pour comprendre ces calculs, il est nécessaire de connaître les formules trigonométriques et les fonctions directes et réciproques, et également les fonctions hyperboliques et réciproques ainsi que les propriétés de ces fonctions.

Quelques formules utiles pour la compréhension du calcul

cosh(-x)=cosh(x)
sinh(-x)=-sinh(x)
arsinh(-x)=-arsinh(x)
cos(x)=cosh(jx)
j sin(x)=sinh(jx)
arcsin(x)=-j arsinh(jx)

On doit résoudre $\displaystyle||H(jx)||^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}T_{n}^{2}(x)}$ , on pose p=jx et cos(θ)=-jp, ce qui donne

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}1+\varepsilon^{2}\cos^{2}(n~{}\theta)&=&0\\ \cos(n~{}\theta)&=&\frac{\pm j}{\varepsilon}\\ n~{}\theta&=&\arccos\left(\frac{j}{\varepsilon}\right)-k\pi\\ \theta&=&\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{j}{\varepsilon}\right)-\frac{k\pi}{n}\\ \end{array}

Le choix des signes permet d'obtenir directement les pôles à racines réelles négatives pour k=1,2,3,...,n à la place de l'ensemble des pôles de k=1,2,3,...,2n.

en exprimant p en fonction de θ, on obtient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}p_{k}&=&j\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(% \frac{j}{\varepsilon}\right)-\frac{k\pi}{n}\right)\\ &=&j\cos\left(\frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\left(\frac{j}{\varepsilon% }\right)\right)-\frac{k\pi}{n}\right)\\ &=&j\cos\left(-\frac{1}{n}\arcsin\left(\frac{j}{\varepsilon}\right)-\left(% \frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right)\right)\\ &=&j\cos\left(-\frac{1}{n}\arcsin\left(\frac{j}{\varepsilon}\right)\right)\cos% \left(\frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right)-j\sin\left(-\frac{1}{n}\arcsin\left% (\frac{j}{\varepsilon}\right)\right)\sin\left(\frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}% \right)\\ &=&j\cos\left(\frac{j}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{-1}{\varepsilon}\right)% \right)\cos\left(\frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right)-j\sin\left(\frac{j}{n}% \mathrm{arsinh}\left(\frac{-1}{\varepsilon}\right)\right)\sin\left(\frac{k\pi}% {n}-\frac{\pi}{2n}\right)\\ &=&j\cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)% \right)\cos\left(\frac{k\pi}{n}-\frac{\pi}{2n}\right)-j\sinh\left(\frac{1}{n}% \mathrm{arsinh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right)\sin\left(\frac{k\pi}{% n}-\frac{\pi}{2n}\right)\end{array}

Synthèse d'un filtre

Comme pour le filtre de Butterworth, on exprime les valeurs de la fonction de transfert aux points (f₁,H₁) et (f₂,H₂) :

\displaystyle||H(jf)||_{f=f_{1}}^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}T_{n}^{2}\left(% \frac{f_{1}}{f_{0}}\right)}=H_{1}\Rightarrow T_{n}^{2}\left(\frac{f_{1}}{f_{0}% }\right)=\frac{1}{\varepsilon^{2}}\left(\frac{1}{H_{1}^{2}}-1\right)

\displaystyle||H(jf)||_{f=f_{2}}^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2}T_{n}^{2}\left(% \frac{f_{1}}{f_{0}}\right)}=H_{2}\Rightarrow T_{n}^{2}\left(\frac{f_{2}}{f_{0}% }\right)=\frac{1}{\varepsilon^{2}}\left(\frac{1}{H_{2}^{2}}-1\right)

En utilisant la propriété des polynômes de Tchebychev T_n(x)=1 ∀ n, on peut donc prendre f₁=f₀.
Ce qui permet de calculer la valeur de ε avec la relation :

\displaystyle\varepsilon=\sqrt{\frac{1}{H_{1}^{2}}-1}

En utilisant la relation au point f₂,H₂ : $\displaystyle T_{n}^{2}\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)=\frac{1}{\varepsilon^{% 2}}\left(\frac{1}{H_{2}^{2}}-1\right)$ , on peut calculer l'expression de calcul de l'ordre n avec la forme trigonométrique des polynômes de Tchebychev pour x > 1 :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\cosh\left(n~{}\mathrm{arcosh}\left(\frac{f_{% 2}}{f_{1}}\right)\right)&=&\frac{1}{\varepsilon}\sqrt{\frac{1}{H_{2}^{2}}-1}\\ n~{}\mathrm{arcosh}\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)&=&\mathrm{arcosh}\left(% \frac{1}{\varepsilon}\sqrt{\frac{1}{H_{2}^{2}}-1}\right)\\ n&=&\frac{\mathrm{arcosh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\sqrt{\frac{1}{H_{2}^{2}}-% 1}\right)}{\mathrm{arcosh}\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)}\end{array}

Ce qui donne, avec des gains exprimés en dB, en prenant G₁=20log₁₀(H₁) et G₂=20log₁₀(H₂) :

\displaystyle\varepsilon=\sqrt{10^{-\frac{G_{1}}{10}}-1}

\displaystyle n=\frac{\mathrm{arcosh}\left(\frac{1}{\varepsilon}\sqrt{10^{-% \frac{G_{2}}{10}}-1}\right)}{\mathrm{arcosh}\left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)}

Tableau des premiers polynômes des dénominateurs

Ondulation

ondulation 0.5 dB , ε = 0.3493
degré	N_n	D_n(p)	décomposition	coefficients ξ
1	$2.8628$	$p + 2.8628$	$p + 2.8628$
2	$1.4314$	$p^{2} + 1.4256 p + 1.5162$	$p^{2} + 1.4256 p + 1.5162$	ξ=0.5789
3	$0.7157$	$p^{3} + 1.2529 p^{2} + 1.5349 p + 0.7157$	$(p + 0.6265) (p^{2} + 0.6265 p + 1.1424)$	ξ=0.2931
4	$0.3578$	$p^{4} + 1.1974 p^{3} + 1.7169 p^{2} + 1.0255 p + 0.3791$	$(p^{2} + 0.8467 p + 0.3564) (p^{2} + 0.3507 p + 1.0635)$	ξ₁=0.7091 ξ₂=0.1700
5	$0.1789$	$p^{5} + 1.1725 p^{4} + 1.9374 p^{3} + 1.3096 p^{2} + 0.7525 p + 0.1789$	$(p + 0.3623) (p^{2} + 0.5862 p + 0.4768) (p^{2} + 0.2239 p + 1.0358)$	ξ₁=0.4245 ξ₂=0.1100

ondulation 1.0 dB , ε = 0.5088
degré	N_n	D_n(p)	décomposition	coefficients ξ
1	$1.9652$	$p + 1.9652$	$p + 1.9652$
2	$0.9826$	$p^{2} + 1.0977 p + 1.1025$	$p^{2} + 1.0977 p + 1.1025$	ξ=0.5227
3	$0.4913$	$p^{3} + 0.9883 p^{2} + 1.2384 p + 0.4913$	$(p + 0.4942) (p^{2} + 0.4942 p + 0.9942)$	ξ=0.2478
4	$0.2457$	$p^{4} + 0.9528 p^{3} + 1.4539 p^{2} + 0.7426 p + 0.2756$	$(p^{2} + 0.6737 p + 0.2794) (p^{2} + 0.2791 p + 0.9865)$	ξ₁=0.6373 ξ₂=0.1405
5	$0.1228$	$p^{5} + 0.9368 p^{4} + 1.6888 p^{3} + 0.9744 p^{2} + 0.5805 p + 0.1228$	$(p + 0.2895) (p^{2} + 0.4684 p + 0.4293) (p^{2} + 0.1789 p + 0.9883)$	ξ₁=0.3575 ξ₂=0.0900

ondulation 2.0 dB , ε = 0.7648
degré	N_n	D_n(p)	décomposition	coefficients ξ
1	$1.3076$	$p + 1.3076$	$p + 1.3076$
2	$0.6538$	$p^{2} + 0.8038 p + 0.8231$	$p^{2} + 0.8038 p + 0.8231$	ξ=0.4430
3	$0.3269$	$p^{3} + 0.7378 p^{2} + 1.0222 p + 0.3269$	$(p + 0.3689) (p^{2} + 0.3689 p + 0.8861)$	ξ=0.1960
4	$0.1634$	$p^{4} + 0.7162 p^{3} + 1.2565 p^{2} + 0.5168 p + 0.2058$	$(p^{2} + 0.5064 p + 0.2216) (p^{2} + 0.2098 p + 0.9287)$	ξ₁=0.5380 ξ₂=0.1088
5	$0.0817$	$p^{5} + 0.7065 p^{4} + 1.4995 p^{3} + 0.6935 p^{2} + 0.4593 p + 0.0817$	$(p + 0.2183) (p^{2} + 0.3532 p + 0.3932) (p^{2} + 0.1349 p + 0.9522)$	ξ₁=0.2817 ξ₂=0.0691

La valeur du numérateur dépend de la constante du dénominateur et de la valeur de ε si le degré est pair. Cela est dû au fait que le module du filtre de Tchebychev ne doit jamais dépassé 0dB, ceci impose que pour les degrés pairs, le gain statique ne doit pas être de 0dB. on a donc la relation de calcul du numérateur :

\displaystyle N_{n}=\left\{\begin{array}[]{ll}\frac{a_{0}}{\sqrt{1+\varepsilon% ^{2}}}&n=2k,k=1,2,3,...\\ a_{0}&n=2k-1,k=1,2,3,...\\ \end{array}\right.

L'expression finale s'obtient en multipliant chaque coefficient du dénominateur normalisé a_k par ω₀^n-k (ω₀=ω₁ pulsation basse du gabarit) :

\displaystyle H(p)=\frac{N_{n}\omega_{0}^{n}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{a_% {k}\omega_{0}^{n-k}p^{k}}+p^{n}}

Filtre passe-haut

Comme pour le filtre de Butterworth, après avoir calculé n et ω₀ à partir du gabarit, on remplace p_B par ω₀/p dans l'exrepssion du filtre passe-bas :

\displaystyle H(p)=\frac{N_{n}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}\left(\frac% {\omega_{0}}{p}\right)^{k}}+\left(\frac{\omega_{0}}{p}\right)^{n}}

Enfin on obtient la fonction de transfert du filtre passe-haut de puslation ω₁ qui s'écrit :

\displaystyle H(p)=\frac{b_{n}N_{n}\left(\frac{p}{\omega_{1}}\right)^{n}}{% \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}\left(\frac{p}{\omega_{1}}\right)^{k}}+% \left(\frac{p}{\omega_{1}}\right)^{n}}=\frac{b_{n}N_{n}p^{n}}{\displaystyle% \sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}\omega_{1}^{n-k}p^{k}}+p^{n}}

Filtre passe-bande

On procède également comme pour le calcul avec le filtre de Butterworth passe-bande, on utilise égalament la transformation : $\displaystyle p_{B}=\frac{\sqrt{\omega_{c_{0}}\omega_{c_{1}}}}{\omega_{c_{1}}-% \omega_{c_{0}}}\left(p+\frac{1}{p}\right)$ qui donne :

\displaystyle H(p)=\frac{N_{n}}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{a_{k}\left(\frac% {\sqrt{\omega_{c_{0}}\omega_{c_{1}}}}{\omega_{c_{1}}-\omega_{c_{0}}}\left(p+% \frac{1}{p}\right)\right)^{k}}+\left(\frac{\sqrt{\omega_{c_{0}}\omega_{c_{1}}}% }{\omega_{c_{1}}-\omega_{c_{0}}}\left(p+\frac{1}{p}\right)\right)^{n}}

On obtient enfin l'expression de la fonction de transfert :

\displaystyle H(p)=\frac{b_{n}N_{n}\left(\frac{p}{\omega_{0}}\right)^{n}}{% \displaystyle\sum_{k=0}^{2n-1}{a_{k}\left(\frac{p}{\omega_{0}}\right)^{k}}+% \left(\frac{p}{\omega_{0}}\right)^{2n}}=\frac{b_{n}N_{n}\omega_{0}^{2n}p^{n}}{% \displaystyle+\sum_{k=0}^{2n-1}{a_{k}\omega_{0}^{2n-k}p^{k}}+p^{2n}}

Décomposition en filtres élémentaires

Un filtre d'ordre n est décompés en m (=n/2) cellules d'ordre 2 avec éventuellement une cellule d'ordre 1 F₀(p) si n est impair. La seule question est l'ordre de mise en cascade des cellules qui se fait par rapport au coefficient d'amortissement de chaque cellule, en respectant la règle ξ₁≥ξ₂≥...≥ξ_m afin de ne pas saturer les cellules.

Montages du premier ordre

Ces montages ont déjà été étudié dans le chapitre précédent

Filtre passe-bas ou intégrateur

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e+=e-=0.

On a un montage inverseur, la relation est :

\displaystyle H(p)=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\frac{1}{1+R_{2}Cp}

avec

\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{R_{2}C}

sans oublier que le signe - correspond à une phase de ±π.

Filtre passe-haut ou dérivateur

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e+=e-=0.

On a un montage inverseur, la relation est :

\displaystyle H(p)=-\frac{-R_{2}Cp}{1+R_{1}Cp}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\frac{R_{1}% Cp}{1+R_{1}Cp}

avec

\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{R_{1}Cp}

avec le signe - qui correspond à une phase de ±π.

Montages du deuxième ordre

Filtre de Sallen-Key

Le filtre de Sallen-Key est sructure de filtre à AOP qui permet de réaliser des filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande.

Structure générale

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e+=e-=0, ... mais également une réaction positive !?.

On applique le diviseur de tension en e- : $\displaystyle\frac{e_{-}}{V_{s}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+kR_{1}}=\frac{1}{1+k}=e_{+}$ , et en e+ : $\displaystyle\frac{e_{+}}{V_{A}}=\frac{Y_{3}}{Y_{3}+Y_{4}}$ . Ces deux équations donnent : $\displaystyle V_{A}=\frac{(Y_{3}+Y_{4})V_{s}}{(1+k)Y_{3}}$ .

On applique Millmann en V_A : $\displaystyle V_{A}=\frac{Y_{1}V_{e}+Y_{3}e_{+}+Y_{2}V_{s}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}}$ . Des équations précédentes, on obtient :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{(Y_{3}+Y_{4})V_{s}}{(1+k)Y_{3}}&=&\frac% {Y_{1}V_{e}+Y_{3}\frac{V_{s}}{1+k}+Y_{2}V_{s}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}}\\ \frac{(Y_{3}+Y_{4})V_{s}}{Y_{3}}&=&\frac{(1+k)Y_{1}V_{e}+Y_{3}V_{s}+Y_{2}(1+k)% V_{s}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}}\\ (Y_{3}+Y_{4})V_{s}&=&\frac{(1+k)Y_{1}Y_{3}V_{e}+Y_{3}^{2}V_{s}+Y_{2}Y_{3}(1+k)% V_{s}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{(1+k)Y_{1}Y_{3}}{(Y_{3}+Y_{4})(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3})-% (Y_{3}+(1+k)Y_{2})Y_{3}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{(1+k)Y_{1}Y_{3}}{Y_{1}Y_{3}+Y_{1}Y_{4}+Y_{2}Y_{4}+% Y_{3}Y_{4}-kY_{2}Y_{3}}\\ \end{array}

Filtre passe-bas

On remplace les admittances par les expressions en fonction des composants : $\displaystyle y_{1}=y_{3}=\frac{1}{R}$ , $\displaystyle y_{2}=C_{1}p$ et $\displaystyle y_{4}=C_{2}p$ .

l'expression devient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{\frac{1+k}{R^{2}}% }{\frac{1}{R^{2}}+\frac{C_{1}p}{R}+\frac{C_{2}p}{R}+C_{1}C_{2}p^{2}+\frac{C_{2% }p}{R}-k\frac{C_{1}p}{R}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{1+k}{1+RC_{2}p+R^{2}C_{1}C_{2}p^{2}+RC_{2}p-kRC_{1% }p}\\ H(p)&=&\frac{1+k}{1+R(2C_{2}-kC_{1})p+R^{2}C_{1}C_{2}p^{2}}\\ \end{array}

qui donne les paramètres

\displaystyle H_{0}=1+k

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{R\sqrt{C_{1}C_{2}}}

\displaystyle\xi=\frac{\omega_{0}}{2}(2C_{2}-kC_{1})R=\frac{2C_{2}-kC_{1}}{2% \sqrt{C_{1}C_{2}}}

Filtre passe-haut

On remplace les admittances par les expressions en fonction des composants : $\displaystyle Y_{1}=Y_{3}=Cp$ , $\displaystyle Y_{2}=\frac{1}{R_{1}}$ et $\displaystyle Y_{4}=\frac{1}{R_{2}}$ .

l'expression devient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{(1+k)C^{2}p^{2}}{% C^{2}p^{2}+\frac{Cp}{R_{2}}+\frac{1}{R_{1}R_{2}}+\frac{Cp}{R_{2}}-k\frac{Cp}{R% _{1}}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{(1+k)R_{1}R_{2}C^{2}p^{2}}{R_{1}R_{2}C^{2}p^{2}+R_% {1}Cp+1+R_{1}Cp-kR_{2}Cp}\\ H(p)&=&\frac{(1+k)R_{1}R_{2}C^{2}p^{2}}{R_{1}R_{2}C^{2}p^{2}+(2R_{1}-kR_{2})Cp% +1}\\ \end{array}

qui donne les paramètres

\displaystyle H_{0}=1+k

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{C\sqrt{R_{1}R_{2}}}

\displaystyle\xi=\frac{\omega_{0}}{2}(2R_{1}-kR_{2})C=\frac{2R_{1}-kR_{2}}{2% \sqrt{R_{1}R_{2}}}

Filtre passe-bande

On remplace les admittances par les expressions en fonction des composants : $\displaystyle Y_{1}=\frac{1}{R_{1}}$ , $\displaystyle Y_{2}=\frac{1}{R_{2}}$ , $\displaystyle Y_{3}=Cp$ et $\displaystyle Y_{4}=\frac{1+R_{2}Cp}{R_{2}}$

l'expression devient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{\frac{(1+k)Cp}{R_% {1}}}{\frac{Cp}{R_{1}}+\frac{1+R_{2}Cp}{R_{1}R_{2}}+\frac{1+R_{2}Cp}{R_{2}^{2}% }+\frac{(1+R_{2}Cp)Cp}{R_{2}}-k\frac{Cp}{R_{2}}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{(1+k)R_{2}^{2}Cp}{R_{2}^{2}Cp+R_{2}(1+R_{2}Cp)+R_{% 1}(1+R_{2}Cp)+R_{1}R_{2}(1+R_{2}Cp)Cp-kR_{1}R_{2}Cp}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{(1+k)R_{2}^{2}Cp}{R_{2}^{2}Cp+R_{2}+R_{2}^{2}Cp+R_% {1}+R_{1}R_{2}Cp+R_{1}R_{2}Cp+R_{1}R_{2}^{2}C^{2}p^{2}-kR_{1}R_{2}Cp}\\ H(p)&=&\frac{\frac{(1+k)R_{2}^{2}Cp}{R_{1}+R_{2}}}{1+\frac{(2R_{2}^{2}+2R_{1}R% _{2}-kR_{1}R_{2})Cp}{R_{1}+R_{2}}+\frac{R_{1}R_{2}^{2}C^{2}p^{2}}{R_{1}+R_{2}}% }\end{array}

qui donne les paramètres

\displaystyle H_{0}=\frac{(1+k)R_{2}^{2}C}{R_{1}+R_{2}}\frac{R_{1}+R_{2}}{(2R_% {2}+2R_{1}-kR_{1})R_{2}C}=\frac{(1+k)R_{2}}{2R_{2}+2R_{1}-kR_{1}}

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{R_{2}Cp}\sqrt{\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}}

\displaystyle\xi=\frac{\omega_{0}}{2}\left(\frac{(2R_{2}+2R_{1}-kR_{1})R_{2}C}% {R_{1}+R_{2}}\right)=\frac{2R_{2}+2R_{1}-kR_{1}}{\sqrt{R_{1}(R_{1}+R_{2})}}

Filtre de Rauch

Structure générale

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e+=e-=0.

On applique le théorème de Millmann en e-=0 : $\displaystyle Y_{3}V_{A}+Y_{5}V_{s}=0\Rightarrow V_{A}=-\frac{Y_{5}}{Y_{3}}V_{s}$ et en V_A : $\displaystyle V_{A}=\frac{Y_{1}V_{e}+Y_{4}V_{s}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4}}$

De ces deux équations, on déduit l'expression de la fonction de transfert :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}-\frac{Y_{5}}{Y_{3}}V_{s}&=&\frac{Y_{1}V_{e}+% Y_{4}V_{s}}{Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4}}\\ -Y_{5}(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4})V_{s}&=&Y_{3}Y_{1}V_{e}+Y_{3}Y_{4}V_{s}\\ -Y_{5}(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4})V_{s}-Y_{3}Y_{4}V_{s}&=&Y_{3}Y_{1}V_{e}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&-\frac{Y_{3}Y_{1}}{Y_{5}(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+Y_{4})}\\ H(p)&=&-\frac{Y_{1}Y_{3}}{Y_{1}Y_{5}+Y_{2}Y_{5}+Y_{3}Y_{5}+Y_{4}Y_{5}+Y_{3}Y_{% 4}}\\ \end{array}

Filtre passe-bas

On remplace les admittances par les expressions en fonction des composants :

\displaystyle Y_{1}=\frac{1}{R_{1}}\mbox{ , }Y_{2}=C_{2}p\mbox{ , }Y_{3}=\frac% {1}{R_{3}}\mbox{ , }Y_{4}=\frac{1}{R_{4}}\mbox{ , }Y_{5}=C_{5}p

l'expression devient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}H(p)&=&-\frac{\frac{1}{R_{1}R_{3}}}{\frac{C_{% 5}}{R_{1}}p+C_{2}C_{5}p^{2}+\frac{C_{5}}{R_{3}}p+\frac{C_{5}}{R_{4}}p+\frac{1}% {R_{3}R_{4}}}\\ H(p)&=&-\frac{1}{R_{3}C_{5}p+R_{1}R_{3}C_{2}C_{5}p^{2}+R_{1}C_{5}p+R_{1}R_{3}C% _{5}p+\frac{R_{1}}{R_{4}}}\\ H(p)&=&-\frac{R_{4}}{R_{1}}\frac{1}{1+\frac{R_{3}R_{4}+R_{1}R_{4}+R_{1}R_{3}}{% R_{1}}C_{5}p+R_{1}R_{3}C_{2}C_{5}p^{2}}\\ \end{array}

qui donne les paramètres

\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{4}}{R_{1}}\mbox{ , }\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{R_% {1}R_{3}C_{2}C_{5}}}\mbox{ et }\xi=\frac{(R_{3}R_{4}+R_{1}R_{4}+R_{1}R_{3})C_{% 5}}{2R_{1}\sqrt{R_{1}R_{3}C_{2}C_{5}}}

Filtre passe-haut

On remplace les admittances par les expressions en fonction des composants :

\displaystyle Y_{1}=C_{1}p\mbox{ , }Y_{2}=\frac{1}{R_{2}}\mbox{ , }Y_{3}=C_{3}% p\mbox{ , }Y_{4}=C_{4}p\mbox{ , }Y_{5}=\frac{1}{R_{5}}

l'expression devient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}H(p)&=&-\frac{C_{1}C_{3}p^{2}}{\frac{C_{1}}{R% _{5}}p+\frac{1}{R_{2}R_{5}}+\frac{C_{3}}{R_{5}}p+\frac{C_{4}}{R_{5}}p+C_{3}C_{% 4}p^{2}}\\ H(p)&=&-\frac{R_{2}R_{5}C_{1}C_{3}p^{2}}{R_{2}C_{1}p+1+R_{2}C_{3}p+R_{2}C_{4}p% +R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}p^{2}}\\ H(p)&=&-\frac{C_{1}}{C_{4}}\frac{R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}p^{2}}{1+(R_{2}C_{1}+R_{2% }C_{3}+R_{2}C_{4})p+R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}p^{2}}\\ \end{array}

qui donne les paramètres

\displaystyle H_{0}=-\frac{C_{1}}{C_{4}}\mbox{ , }\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{R_% {2}R_{5}C_{3}C_{4}}}\mbox{ et }\xi=\frac{C_{1}+C_{3}+C_{4}}{2}\sqrt{\frac{R_{2% }}{R_{5}C_{3}C_{4}}}

Filtre passe-bande

On remplace les admittances par les expressions en fonction des composants :

\displaystyle Y_{1}=\frac{1}{R_{1}}\mbox{ , }Y_{2}=\frac{1}{R_{2}}\mbox{ , }Y_% {3}=C_{3}p\mbox{ , }Y_{4}=C_{4}p\mbox{ , }Y_{5}=\frac{1}{R_{5}}

l'expression devient

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}H(p)&=&-\frac{\frac{C_{3}}{R_{1}}p}{\frac{1}{% R_{1}r_{5}}+\frac{1}{R_{2}r_{5}}+\frac{C_{3}}{R_{5}}p+\frac{C_{4}}{R_{5}}p+C_{% 3}C_{4}p^{2}}\\ H(p)&=&-\frac{R_{5}C_{3}p}{1+\frac{R_{1}}{R_{2}}+R_{1}C_{3}p+R_{1}C_{4}p+R_{1}% R_{5}C_{3}C_{4}p^{2}}\\ H(p)&=&-\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\frac{R_{5}C_{3}p}{1+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+% R_{2}}(C_{3}+C_{4})p+\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}R_{5}C_{3}C_{4}p^{2}}\\ \end{array}

qui donne les paramètres

\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{2}R_{5}C_{3}}{R_{1}+R_{2}}\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{% 1}R_{2}(C_{3}+C_{4})}=-\frac{R_{5}C_{3}}{R_{1}(C_{3}+C_{4})}

\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}R_{5}C_{3% }C_{4}}}

\displaystyle\xi=\frac{R_{1}R_{2}(C_{3}+C_{4})}{R_{1}+R_{2}}\frac{1}{2\sqrt{% \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}R_{5}C_{3}C_{4}}}=\frac{C_{3}+C_{4}}{2\sqrt{R_{5% }C_{3}C_{4}}}\sqrt{\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}

Etude d'un filtre

Soit le schéma de filtre à AOP ci-contre.

En analysant le schéma, sans faire de calcul, donner le type de filtre en étudiant le résulat pour V_s en ω=0, puis pour ω→∞. On pourra se service du principe d'analyse présentée au chapitre circuits en alternatif.
Calculer l'expression de la fonction de transfert H(p)=Vs(p)/Ve(p) de ce filtre, en la mettant sous forme canonique.
En déduire l'expression des paramètres H₀, ω₀ et ξ.
En déduire l'expression de la ou des pulsations de coupures.

Filtres intégrés

Filtre universel

On a des AOP idéaux avec des réactions négatives, on a donc : e+=e-=0.

On exprime les relations entre les tensions intermédaires : $\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{2}}=-\frac{1}{Rcp}\Rightarrow V_{2}=-RCpV_{s}$ d'une part et $\displaystyle\frac{V_{2}}{V_{1}}=-\frac{1}{Rcp}\Rightarrow V_{1}=-RCpV_{2}=R^{% 2}C^{2}p^{2}V_{s}$ d'autre part.

Maintenant on exprime V₁ en fonction de V_e et V_s (fonction soustracteur) : $\displaystyle V_{1}=-V_{s}+\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}V_{e}+\frac{2R_{1}}{R_{1}% +R_{2}}V_{2}$

A partir de toutes ces équations, on obtient l'expression

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}R^{2}C^{2}p^{2}V_{s}&=&-V_{s}+\frac{2R_{2}}{R% _{1}+R_{2}}V_{e}-\frac{2R_{1}}{R_{1}+R_{2}}RCpV_{s}\\ V_{s}\left(R^{2}C^{2}p^{2}+1+\frac{2R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\right)&=&\frac{2R_{2}}% {R_{1}+R_{2}}V_{e}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&\frac{\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{R^{2}C^{2}p^{2}+\frac{% 2R_{1}}{R_{1}+R_{2}}RCp+1}\\ \end{array}

On a un filtre passe-bas avec

\displaystyle H_{0}=\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\mbox{ , }\omega_{0}=\frac{1}{RC% }\mbox{ et }\xi=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}

On exprime maintenant V₂ en fonction de V_e

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{V_{2}}{V_{e}}&=&\frac{V_{2}}{V_{s}}% \frac{V_{s}}{V_{e}}\\ \frac{V_{2}}{V_{e}}&=&-RCp\frac{\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{1+\frac{2R_{1}}{R_% {1}+R_{2}}RCp+R^{2}C^{2}p^{2}}\\ \frac{V_{2}}{V_{e}}&=&-\frac{\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}RCp}{1+\frac{2R_{1}}{R_% {1}+R_{2}}RCp+R^{2}C^{2}p^{2}}\\ \end{array}

On a un filtre passe-bande avec

\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}\mbox{ , }\omega_{0}=\frac{1}{RC}\mbox% { et }\xi=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}

Enfin on exprime V₁ en fonction de V_e

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{V_{1}}{V_{e}}&=&\frac{V_{1}}{V_{s}}% \frac{V_{s}}{V_{e}}\\ \frac{V_{1}}{V_{e}}&=&R^{2}C^{2}p^{2}\frac{\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{1+\frac% {2R_{1}}{R_{1}+R_{2}}RCp+R^{2}C^{2}p^{2}}\\ \frac{V_{1}}{V_{e}}&=&\frac{\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}R^{2}C^{2}p^{2}}{1+\frac% {2R_{1}}{R_{1}+R_{2}}RCp+R^{2}C^{2}p^{2}}\\ \end{array}

on a un filtre passe-haut avec

\displaystyle H_{0}=-\frac{2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\mbox{ , }\omega_{0}=\frac{1}{% RC}\mbox{ et }\xi=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}

En conclusion, avec une seule structure, on réalise les trois types de filtres. De plus la valeur de ω₀ se règle avec les composants RC et la valeur de xi avec deux résistances R₁ et R₂. Ce qui en fait un filtre facilement paramétrable. Le seul inconvénient est le réglage indépendant des deux intégrateurs, on va régler cela en remplaçant ces intégrateurs par des intégrateurs à capacité commutée.

Intégrateur à capacité commutée

Dans ce cas c'est la fréquence du signal de commande H qui détermine la valeur de ω₀, ce qui fait un intégrateur facilement paramétrable en numérique avec, par exemple, un microprocesseur.

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e+=e-=0. On suppose que les interrupteurs sont parfaits et qu'ils commutent sans temps de retard.

On définit la relation de charge du condensateur C₁ entre la période T_H et la demi-période T_H/2 à l'instant nT_H : $\displaystyle C_{1}(nT_{H}-\frac{T_{H}}{2})=C_{1}((n-\frac{1}{2})T_{H})$

Entre (n-1/2)T_H et nT_H, cette charge est transmise au condensateur C₂, ce qui s'écrit :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}C_{2}V_{s}(nT_{H})&=&C_{2}V_{s}((n-1)T_{H})-C% _{1}((n-\frac{1}{2})T_{H})\\ V_{s}(nT_{H})&=&C_{2}V_{s}((n-1)T_{H})-\frac{C_{1}}{C_{2}}((n-\frac{1}{2})T_{H% })\\ \end{array}

On exprime maintenant cette équation avec les représentations complexes :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}V_{s}e^{j\omega nT_{H}}&=&V_{s}e^{j\omega(n-1% )T_{H}}-V_{e}\frac{C_{1}}{C_{2}}e^{j\omega(n-\frac{1}{2})T_{H}}\\ V_{s}&=&V_{s}e^{-j\omega T_{H}}-V_{e}\frac{C_{1}}{C_{2}}e^{-j\omega\frac{T_{H}% }{2}}\\ V_{s}-V_{s}e^{-j\omega T_{H}}&=&-V_{e}\frac{C_{1}}{C_{2}}e^{-j\omega\frac{T_{H% }}{2}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&-\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{e^{-j\omega\frac{T_{H}}{2}}}{1% -e^{-j\omega T_{H}}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&-\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{1}{e^{j\omega\frac{T_{H}}{2}}-% e^{-j\omega\frac{T_{H}}{2}}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&-\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{1}{e^{j\omega\frac{T_{H}}{2}}-% e^{-j\omega\frac{T_{H}}{2}}}\\ \frac{V_{s}}{V_{e}}&=&-\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{1}{2j\sin\left(\omega\frac{T_{% H}}{2}\right)}\\ \end{array}

Si T_H<<T, cette expression devient :

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}\approx-\frac{C_{1}}{C_{2}}\frac{1}{j\omega T_% {H}}

qui est bien la fonction de transfert d'un intégrateur où la pulsation ω₀ dépend de la période T_H du signal d'horloge.

Exemple de filtre intégré à capacité commutée : le LTC1067

Le circuit LTC1067 est un circuit qui contient deux structures de filtres universels à capacitée commutée.

Exemple d'utilisation fourni par la documentation constructeur. V_e=V_IN connecté à S. La sortie passe-bas est située sur la broche LP, et la sortie passe-bande sur la broche BP. La pulsation ω₀ est donnée par $\displaystyle\omega_{0}=2\pi\frac{f_{clk}}{50}\mbox{ ou }\omega_{0}=2\pi\frac{% f_{clk}}{100}$ . Le coefficient d'amortissement est donné par le rapport $\displaystyle\xi=\frac{R_{2}}{2R_{3}}$ . Le gain du filtre passe-bas est : $\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}$ . Le gain du filtre passe-bande est : $\displaystyle H_{0}=-\frac{R_{3}}{R_{1}}$ .

Application numérique

On réalise un filtre de Butterworth d'ordre 4 de fréquence de coupure f₀=5kHz.

Voir la simulation du filtre.

On met en cascade les deux structures. Les résistances de la première structure sont : R₁=R₂=18,72kΩ et R₃=10kΩ, celles de la deuxième structure sont : R₄=R₅=7,5kΩ et R₆=10kΩ

Modélisation de ces filtres dans l'espace d'état

La représentation d'une fonction de transfert sous forme la forme d'un système bouclé avec des intégrateurs dans la chaîne directe, est une appelé une représentation d'état. Cette représentation se modélise à l'aide d'un système d'équations matricielles de la forme générale : $\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}\dot{x}&=&Ax+Bu\\ y&=&Cx+Du\end{array}\right.$ avec u qui est le signal d'entrée, y le signal de sortie, A la matrice d'état, B la matrice de commande, C la matrice d'observation, D la matrice d'action directe, x vecteur d'état qui contient les variables d'état.

Pour le filtre universel modélisé ici, E(p) est le signal d'entrée, S(p) le signal de sortie, X₁(p) et X₂(p) les composantes du vecteur d'état. Le modèle d'état du système normalisé (ω₀=1) s'écrit dans ce cas :

\displaystyle\left\{\begin{array}[]{rcl}\left(\begin{array}[]{c}\dot{x_{1}}\\ \dot{x_{2}}\\ \end{array}\right)&=&\left(\begin{array}[]{cc}0&1\\ -1&-a\end{array}\right)\left(\begin{array}[]{c}x_{1}\\ x_{2}\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}[]{cc}0\\ 1\\ \end{array}\right)e\\ y&=&\left(\begin{array}[]{cc}1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}[]{c}x_{1% }\\ x_{2}\\ \end{array}\right)\end{array}\right.

qui est une forme compagne horizontale.

On calcule la fonction de transfert de ce système en partant de la représentation d'état avec la formule :

\displaystyle H(p)=C(pI-A)^{-1}B+D

avec p variable de Laplace et I matrice identité

Pour le système normalisé avec ω₀=1, le calcul donne

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}H(p)&=&\left(\begin{array}[]{cc}1&0\\ \end{array}\right)\left(\left(\begin{array}[]{cc}p&0\\ 0&p\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}[]{cc}0&1\\ -1&-a\\ \end{array}\right)\right)^{-1}\left(\begin{array}[]{cc}0\\ 1\\ \end{array}\right)\\ H(p)&=&\frac{1}{p(p+a)+1}\left(\begin{array}[]{cc}1&0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}[]{cc}p+a&1\\ -1&p\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}[]{cc}0\\ 1\\ \end{array}\right)\\ H(p)&=&\frac{1}{p(p+a)+1}\left(\begin{array}[]{cc}p+a&1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}[]{cc}0\\ 1\\ \end{array}\right)\\ H(p)&=&\frac{1}{p^{2}+ap+1}\end{array}

puis en remplaçant p par p/ω₀, on obtient

\displaystyle\frac{S(p)}{E(p)}=H(p)=\frac{1}{\frac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}+a% \frac{p}{\omega_{0}}+1}

avec a=2ξ.

En prenant le signal sur la sortie intermédiaire X₂(p), on obtient :

\displaystyle\frac{X_{2}(p)}{E(p)}=H_{2}(p)=\frac{\frac{p}{\omega_{0}}}{\frac{% p^{2}}{\omega_{0}^{2}}+a\frac{p}{\omega_{0}}+1}

qui est bien l'expression d'un filre passe-bande

On peut également utiliser la méthode de calcul directement à partir du schéma sans passer par la représentation d'état

Voir la méthode de calcul

On écrit les équations du système bouclé $\displaystyle\varepsilon(p)=E(p)-aX_{2}(p)-S(p)$ avec $\displaystyle X_{2}(p)=\frac{p}{\omega_{0}}S$ et $\displaystyle\varepsilon(p)=\frac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}S(p)$

On obtient l'expression

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}S(p)&=&E(p)-a% \frac{p}{\omega_{0}}S(p)-S(p)\\ S(p)\left(\frac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}+a\frac{p}{\omega_{0}}+1\right)&=&E(p)\\ \frac{S(p)}{E(p)}&=&\frac{1}{\frac{p^{2}}{\omega_{0}^{2}}+a\frac{p}{\omega_{0}% }+1}\\ \end{array}

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