Génération de signaux

Stabilité des systèmes bouclés

Avant d'étudier la stabilité de ce système, on définit deux modèles de fonction de transfert :

FTBO : Fonction de transfert en boucle ouverte, $\displaystyle F(j\omega)=A(j\omega)B(j\omega)$
FTBF : Fonction de transfert en boucle fermée, $\displaystyle H(j\omega)=\frac{A(j\omega)}{1+A(j\omega)B(j\omega)}$

Intiutivement, un système est instable si le signal de sortie injécté en entrée est en phase avec le signal de sortie, on a alors cumul des signaux et donc instabilité.

Du point de vue du système cela signifie que le module de la FTBO doit être supérieur ou égal à 1 avec une phase de 0 pour une réaction positive ou une phase de π pour une réaction négative.

Cela est défini par le critère de Nyquist qui n'utilise pas forcément la représentation de Nyquist mais qui peut être également défini dans la représentation de Bode. La stabilité peut également être définie par le critère de Barkhausen qui permet de déterminer si un système est stable ou non.

On peut résumer ces critères de la façon suivante :

Pour un argument de la FTBO de 0 en cas de réaction positive ou de π en cas de réaction négative,

||A(jω)B(jω)||<1, le système est stable
||A(jω)B(jω)||=1, le système est juste oscillant, la sortie est une fonction sinusoïdale constante
||A(jω)B(jω)||>1, le système est instable, la sortie est une fonction sinusoïdale dont l'amplitude croît de manière exponentielle

AOP avec réaction positive et circuit RC en réaction négative

On a une réaction positive, la sortie vaut ±Vcc, sans le circuit RC, on a un comparateur à hystérésis. Les deux relations sont : $\displaystyle e_{h}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{cc}$ et $\displaystyle e_{b}=-\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{cc}$ .

A la mise sous tension, on suppose que le condensateur est déchargé et que la tension de sortie de l'AOP est +Vcc. Dans ce cas e₊=e_h.

On rappelle l'équation générale de charge du condensateur solution de l'équation différentielle : $\displaystyle V_{c}(t)=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{-\frac{t}{RC}}$

Période T₀ :
V_i=0, V_f=+Vcc, le condensateur se charge jusqu'à la valeur V_c(t)=e_h, lorsque e_- dépasse e₊ la sortie bascule à -Vcc. La période T₀ est définie par la relation :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}e_{h}&=&V_{cc}+(0-V_{cc})e^{-\frac{T_{0}}{RC}% }\\ V_{cc}-e_{h}&=&V_{cc}e^{-\frac{T_{0}}{RC}}\\ e^{\frac{T_{0}}{RC}}&=&\frac{V_{cc}}{V_{cc}-e_{h}}\\ T_{0}&=&RC\ln\left(\frac{V_{cc}}{V_{cc}-e_{h}}\right)\end{array}

Période T₁ :
V_i=e_h, V_f=-Vcc, le condensateur se décharge jusqu'à la valeur V_c(t)=e_b, lorsque e_- devient inférieure à e₊ la sortie bascule à +Vcc. En prenant l'origne en T₀, la période T₁ est définie par la relation :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}e_{b}&=&-V_{cc}+(e_{h}+V_{cc})e^{-\frac{T_{1}% }{RC}}\\ e_{b}+Vcc&=&(e_{h}+V_{cc})e^{-\frac{T_{1}}{RC}}\\ e^{\frac{T_{1}}{RC}}&=&\frac{V_{cc}+e_{h}}{V_{cc}+e_{b}}\\ T_{1}&=&RC\ln\left(\frac{V_{cc}+e_{h}}{V_{cc}+e_{b}}\right)\end{array}

Période T₂ :
V_i=e_b, V_f=+Vcc, le condensateur se charge jusqu'à la valeur V_c(t)=e_h, lorsque e_- dépasse e₊ la sortie bascule à -Vcc et le cycle reprend à la valeur de T₀+T₁. La période T₂ est définie par la relation :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}e_{h}&=&V_{cc}+(e_{b}-V_{cc})e^{-\frac{T_{2}}% {RC}}\\ e_{h}-Vcc&=&(e_{b}-V_{cc})e^{-\frac{T_{2}}{RC}}\\ e^{\frac{T_{2}}{RC}}&=&\frac{e_{b}-V_{cc}}{e_{h}-V_{cc}}\\ T_{2}&=&RC\ln\left(\frac{e_{b}-V_{cc}}{e_{h}-V_{cc}}\right)\end{array}

Après le temps T₀, on a donc un signal carré de fréquence de récurrence $\displaystyle f=\frac{1}{T_{1}+T_{2}}$

AOP avec réaction négative et filtre en réaction positive

Ce type de montage fournit une tension de sortie sinusoïdale qui tend vers l'infini car on ne peut pas, pratiquement, ajuster le gain pour obtenir une tension de sortie constante. Dans ce cas, ce sont les non linéarités du montage, comme la tension d'alimentation, qui stabilise l'amplitude. En conséquence le signal de sortie n'est pas parfaitement sinusoïdal, c'est pourquoi on appelle ce type de montage oscillateur quasi-sinusoïdal.

D'une part on a l'amplificateur non inverseur, copomposé des résistances R₁ et R₂ d'amplification : $\displaystyle A(j\omega)=\frac{Vs}{V}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}$ et d'autre part, la fonction de retour qui est un filtre passe-bande déja étudié dans le chapitre circuits alternatifs qui donne la relation :

\displaystyle B(j\omega)=\frac{V(j\omega)}{Vs(j\omega)}=\frac{jRC\omega}{1-R^{% 2}C^{2}\omega^{2}+3jRC\omega}

Pour avoir un générateur de signaux, il faut que le système soit instable. Le retour du filtre sur l'entrée + correspond à une réaction positive, donc l'argument de A(ω)B(ω) doit être 0, ce qui impose que B(jω) doit être réel. Ceci implique que 1-R²C²ω²=0. Cette condition permet de déterminer la pulsation du signal de sortie :

\displaystyle 1-R^{2}C^{2}\omega_{0}^{2}=0\Rightarrow\omega_{0}=\frac{1}{RC}

Pour cette pulsation, le module de B(jω) vaut :

\displaystyle||B(j\omega_{0})||=\frac{1}{3}

, afin d'obtenir un système instable, il respecter la condition sur le module du produit A(jω)B(jω), ce qui donne :

\displaystyle||A(j\omega_{0})B(j\omega_{0})||=\left(1+\frac{R_{2}}{R_{1}}% \right)\frac{1}{3}\geq 1\Rightarrow\frac{R_{2}}{R_{1}}\geq 2

Ce montage fournit un signal sinusoïdal qui, théoriquement, augmente de manière exponentielle. En réalité, ce sont les tensions d'alimentations qui limite l'amplitude du signal de sortie, qui subit une distorsion.

Afin d'améliorer la forme du signal de sortie, on ajoute des diodes, dans ce cas l'amplitude du signal de sortie est ±0.65v, ou bien des diodes zener, dans ce cas l'amplitude de sortie est ±|V_z+0.65|v.

Horloge à quartz

Les Horloges à quartz font partie des oscillateurs quasi-sinusoïdaux. Ce montage est composé d'une porte logique inverseuse qui tient le rôle de l'amplificateur et d'un quartz pour la chaîne de retour qui fait fonction de filtre.

L'amplificateur

Une porte logique est un amplificateur de gain très important représenté par la partie linéaire située autour de Vcc/2. 
				Sans la résistance, on obtient toujours en sortie la valeur 0 ou Vcc, ce qui est le fonctionnement normal d'une port logique.
Pour transformer cette porte logique en amplificateur, il faut forcer le point de fonctionnement au milieu de la partie linéaire. 
				C'est le rôle de la résistance en contre-réaction. Avec cette résistance les tensions d'entrée et de sorties sont proche de Vcc/2, ce qui transforme la porte logique en amplificateur linéaire pour de très faibles tensions d'entrées car le gain reste important.
				On a donc réalisé un amplificateur inverseur.
				

Le filtre

Le quartz est un composant qui oscille à une fréquence précise est très stable. C'est pour cela qu'il est utilisé dans les montages d'horloges des systèmes à microporcesseurs.

Au voisinage ce cette fréquence de résonnance, il peut être modélisé par une circuit RLC série (R_m,L_m, C_m). La capacité C₀ représente la capacité de connexion.

On a donc deux fréquences de résonnances :

série avec les composants L_m et C_m qui donne $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L_{m}C_{m}}}$
parallèle : avec les composants L_m et C_m et C₀ qui donne $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L_{m}\frac{1}{\frac{1}{C_{m}}+\frac{1}{% C_{0}}}}}\approx\frac{1}{\sqrt{L_{m}C_{m}}}$

Le générateur à résonance série

C'est la montage le plus performant, car il utilise la résonance série du quartz et reste donc indépendant de la capacité C₀. Il utilise deux portes logiques qui forment un amplificateur non inverseur. L'impédance du quartz est minimale à la résonance série, qui fournit la fréquence du signal de sortie.

C est un condensateur de découplage.

Le générateur à résonance parallèle

Ce montage utilise un amplificateur inverseur avec un filtre en π composé du quartz et des deux condensateurs C₁ et C₂.

La résonnance paralèlle dépend du quartz et des deux condensateurs avec la relation : $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L_{m}\left(\frac{1}{\frac{1}{C_{m}}+% \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}}+\frac{1}{C_{0}}}}\right)}}$

La résistance R_s permet de compenser la faible impédance de sortie de la porte logique car un filtre en π nécessite une impédance de sortie importante pour le générateur qui alimente ce filtre. De plus le démarrage et la fréquence de résonance dépendent des condensateurs, ce qui fait de ce circuit un système plus difficile à implémenter.

Astable NE555

Le circuit NE555 est un circuit intégré créé dans les années 1970 et qui est toujours commercialisé. On peut comprendre son fonctionnement ainsi que les différentes applications avec sa documentation constructeur et également sur le site www.555-timer-circuits.

Le principe de fonctionnement de ce circuit est très simple. Deux comparateurs de tension avec des niveaux prédéfinis (1/3Vcc et 2/3Vcc) font changer d'état une bascule qui commande le transistor de sortie et un transsitor qui peut être utilisé pour décharger un condensateur.

Le fonctionnement est parfaitement expliqué sur la page wikipédia du NE555 sur laquelle on trouve le tableau de fonctionnement suivant (Control Voltage non connecté) :

Reset	Trigger	Threshold	Discharge	Output (V)
GND	X	X	conduit	0
Vcc	<1/3Vcc	X	bloqué	Vcc
Vcc	>1/3Vcc	>2/3Vcc	conduit	0
Vcc	>1/3Vcc	<2/3Vcc	inchangé	inchangé

Voir le test de la table de fonctionnement.

On retrouve le fonctionnement décrit sur la page wikipédia et sur le tableau ci-dessus. IL ne reste plus qu'à le tester en pratique.

On va étudier le montage astable correspondant à la figure ci-contre et également très bien décrit sur la page wikipédia du NE555.

La formule de la fréquence est directement déduite de la formule générique de la charge et décharge d'un condensateur : $\displaystyle V_{c}(t)=V_{f}+(V_{i}-V_{f})e^{-\frac{t}{RC}}$

Comme pour l'astable avec AOP, la première période est différente du fait que le condensateur est déchargé, ce qui fait que l'on a V_i=0, V_f+Vcc et V_c(t)=2/3Vcc : $\displaystyle V_{c}(t)=V_{cc}\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)$

Le calcul de la première période est donc :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\frac{2}{3}V_{cc}&=&V_{cc}\left(1-e^{-\frac{T% _{0}}{RC}}\right)\\ \frac{2}{3}&=&1-e^{-\frac{t_{0}}{RC}}\\ e^{-\frac{T_{0}}{RC}}&=&\frac{1}{3}\\ \frac{T_{0}}{RC}&=&\ln(3)\\ T_{0}&=&RC\ln(3)\\ T_{0}&\approx&1.1\times RC\\ \end{array}

Voir la simulation de l'astable.

Ce montage est proposé sur la note d'application AN170 rédigé par le concepteur de ce circuit RTC philips disponible sur www.555-timer-circuits. Cela me rappelle mon premier emploi dans l'industrie en 1980.

On observe bien que la première période est plus importante que les suivantes : 1.1R₁C ≈ 1.65 ms. De plus sur ce montage, on a ajouter deux diodes afin de pouvoir obtenir un rapport cyclique de 1/2, ce qui n'est pas possible avec le schéma de base. Dans ce cas la fréquence vaut : $\displaystyle f=\frac{1.49}{(R_{1}+R_{2})C}\approx 496Hz$ soit une période d'environ 2ms.

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