L'amplificateur opérationnel

L'amplification

Définitions

L'amplification est définie comme le rapport des modules du signal de sortie sur le signal d'entrée et sur la différence de la phase du signal de sortie avec la phase du signal d'entrée.

Sur ce schéma on peut remarquer que le courant i₂ est entrant, alors qu'intuitivement, il est sortant. En réalité il s'agit d'une convention qui précise que tous les courants sont définis entrants.

L'équation en entrée est $\displaystyle v_{1}=e_{g}-Z_{g}i_{1}$

L'équation en sortie est : $\displaystyle v_{2}=-Z_{L}i_{2}$

On définit l'amplification en tension : $\displaystyle A_{v}=\frac{V_{2}}{V_{1}}$ et le gain $\displaystyle G_{dB}=20\log_{10}(A_{v})$ .

On définit l'amplification en puissance : $\displaystyle A_{p}=\frac{P_{2}}{P_{1}}$ et le gain $\displaystyle G_{dB}=10\log_{10}(A_{p})$

Impédance d'entrée et de sortie

L'impédance d'entrée est Z_e, elle peut être calculée en mesurant l'amplitude et la phase de la tension V₁ et le courant i₁. L'impédance Z_e est définie par le quotient des amplitudes et le déphasage entre tension et courant comme cela est présenté dans la représentation complexe des circuits en alternatif.

Pour la mesure de l'impédance de sortie, la méthode est différente, car on ne peut pas injecter une tension v₂ en sortie d'un montage sans risquer de le détériorer. En pratique on fait des mesures des amplitudes et phases de la tension v₂ et du courant i₂ pour différentes valeurs de Z_L que l'on choisira de préférence réelle (résistance pure).

Dans le cas d'une transmission en puissance, on veillera à adapter les impédances du circuit afin de transmettre le maximum de puissance, comme cela a déjà été montré avec les circuits en courant continu.

On en déduit donc que l'adaptation d'impédance est réaliisée en entrée si Z_g=Z_e et en sortie si Z_s=Z_L.

Bloc fonctionnel

Les montages utilisant des amplificateurs opérationnels peuvent être modélisés avec des blocs fonctionnels.

Un bloc fonctionnel représente une fonction de transfert en utlisant l'opérateur de Laplace avec la relation S(p)=F(p)E(p).

Cette méthode permet d'effectuer les calculs aussi bien en continu en prenant $\displaystyle E(p)=\frac{1}{p}$ puis en calculant l'expression de s(t) à partir de S(p), qu'en alternatif en régime permament en prenant p=jω pour calculer ensuite le module et l'argument de s(t).

Les systèmes bouclés

Définition

Un système bouclé est un montage où une partie de la grandeur de sortie est additionnée (réaction positive) ou soustraite (réaction négative) avec le signal d'entrée. Cette méthode permet de mieux contrôler le gain de l'amplificateur et dans certains cas sa bande passante.

Dans le schéma présenté, on prélève une partie du courant de sortie que l'on injecte en entrée. Le signe des courants définit le type de réaction positive ou négative.

Il existe un autre montage pour obtenir une réaction en tension. Plutôt que d'étudier tous ces montages, on va se limiter à une étude sous la forme de blocs fonctionnels qui sont indépendants de la grandeur utilisée. Par contre, on n'oublie pas les unités lors du passage aux signaux temporels ou fréquentiels.

Réaction négative ou contre-réaction

L'objectif est d'exprimer S(p) en fonction de E(p). Pour cela on exprime ε(p) en fonction de E(p) et S(p) d'une part et ε(p) en utilisant la relation des blocs fonctionnels S(p)=A(p)ε(p) d'autre part.

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\varepsilon(p)&=&E(p)-B(p)S(p)\\ \frac{S(p)}{A(p)}&=&E(p)-B(p)S(p)\\ S(p)&=&A(p)E(p)-A(p)B(p)S(p)\\ \frac{S(p)}{E(p)}&=&\frac{A(p)}{1+A(p)B(p)}\\ \end{array}

Un système bouclé peut être instable, c'est à dire que la sortie peut diverger vers ±∞ en théorie, car en pratique le signal de sortie est toujours limité par les valeurs de l'alimentation. Il peut également devenir oscillatoire, c'est à dire que s(t) devient un signal alternatif indépendamment du signal d'entrée.

Pour déterminer la stabilité, on étudie la réponse impulsionnelle du système. Dans ce cas le signal d'entrée est une impulsion de Dirac qui a pour transformée de Laplace 1.

On propose d'étudier un exemple en prenant $\displaystyle A(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}$ , B(p)=B et E(p)=1 ce qui donne $\displaystyle S(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}+AB\omega_{0}}$ . On va étudier le comportement de ce système lorsque A tend vers l'infini en exprimant s(t) : $\displaystyle s(t)=A\omega_{0}e^{-(1+AB)\omega_{0}t}$ . On comprend que $\displaystyle\lim_{t\to\infty}{s(t)}=0$ si AB>1, ce qui est souvent le cas.

Ce système est donc stable.

Réaction positive

On propose d'inverser les positions des signes + et - de façon à obtenir une reaction positive et on refait la même étude.

La valeur de S(p) vaut

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\varepsilon(p)&=&-E(p)+B(p)S(p)\\ \frac{S(p)}{A(p)}&=&-E(p)+B(p)S(p)\\ S(p)&=&-A(p)E(p)+A(p)B(p)S(p)\\ \frac{S(p)}{E(p)}&=&-\frac{A(p)}{1-A(p)B(p)}\\ \end{array}

La même étude que précédement nous donne

\displaystyle S(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}-AB\omega_{0}}

qui donne

\displaystyle s(t)=A\omega_{0}e^{-(1-AB)\omega_{0}t}

La limite vaut

\displaystyle\lim_{t\to\infty}{s(t)}=\infty

pour AB>1 ce qui est souvent le cas.

Ce système est divergent, il est instable divergent.

Dans le cas d'un système à réaction négative et stable, on a un résultat intéressant lorsque que B(p)=B et A(p)=A avec A qui tend vers l'infini :

\displaystyle\lim_{A\to\infty}{\frac{A}{1+AB}}=\frac{1}{B}

Cette remarque donne ε=0, on dit que l'erreur est nulle.

L'amplificateur opérationnel

Présentation

L'amplificateur opérationnel ou AOP est un amplificateur qui effectue l'amplification de la différence des tensions d'entrées notées e+ et e- avec la relation :

\displaystyle V_{s}=AU_{d}=\frac{A_{0}}{1+\frac{p}{\omega_{0}}}(e_{+}-e_{-})

La zone linéaire autour de 0 est très faible. La pente de la droite au voisinage de 0 correspond à A qui est très élevé (environ 10⁶). Ce qui fait que l'on peut faire l'approximation A≈∞.

On définit donc un AOP idéal avec les caractéristiques suivantes :

A=∞
i₊=i_-=0 ce qui correspond à une imépdance d'entrée infinie
Z_s=0 ce qui correspond à un générateur parfait en sortie

On appliquera ces règles pour tout montage ou la réaction est négative. Si la réaction est positive, il faudra appliquer la relation réelle de l'AOP ou encore : $\displaystyle V_{s}=AU_{d}=A(e_{+}-e_{-})$ en considérant A → ∞

En pratique l'amplificateur opérationnel est toujours alimenté avec une tension symétrique par rapport à la masse : ±Vcc. Ces alimentations ne sont jamais représentées sur les schémas, elles sont implicites.

On utilise la simulation pour tracer les caractéristiques de l'AOP AD820 en boucle ouverte (sans réaction).

Voir La simulation de la caractéristique

Sur la figure qui donne le détail au voisinage de 0, on peut observer que la courbe ne passe par le point (0,0) comme cela devrait être le cas. Ce décalage est dû aux courants de polarisation des entrées + et - ainsi qu'aux tensions résiduelles à l'intérieur de l'AOP. Dans le cas présent cette tension de décalage ou offset est d'environ 50mv.

Voir La simulation du diagramme de Bode

On peut lire sur de diagramme un gain d'environ 149dB et une fréquence de coupure à -3dB d'environ 0.07Hz. Ce qui donne A₀≈28×10⁶ et ω₀≈0.44rad/s, ce qui donne un produit gain bande d'environ 1,96MHz (la documentation constructeur donne 1,8MHz).

Voir La simulation de la vitesse de balayage ou slew rate

Elle est définie par la variation de tension par unité de temps, ici on a 30v pour environ 6µs ce qui donne 4.2v/µs (la documentation constructeur donne 3V/µs).

Réaction négative et positive

On a une réaction sur l'entrée négative, et pas sur l'entrée positive, on a donc une réaction négative, le système est stable.

Le calcul de e_- est obtenu en utilisant la règle du pont diviseur de tension par rapport à V_s. Le calcul de Vs s'obtient également en utilisant la relation de l'AOP par rapport aux deux entrées.

En appliquant les principes de la réaction utilisées avec les schémas fonctionnels avec A(p)=A et $\displaystyle B(p)=\frac{e_{+}}{V_{s}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$ on obtient la relation :

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=\frac{A}{1+A\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}

Ce qui donne la limite

\displaystyle\lim_{A\to\infty}{\frac{V_{s}}{V_{e}}}=\frac{1}{\frac{R_{1}}{R_{1% }+R_{2}}}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}=1+\frac{R_{2}}{R_{1}}

Ce montage est appelé non-inverseur car la tension de sortie est en phase avec la tension d'entrée.

Lorsque la réaction est négative, on peut appliquer le fait que la différence entre e₊ et e_- est nulle. On peut écrire la relation e₊=e_- pour faire les calculs du montage. Cela donne dans le cas présent :

\displaystyle V_{e}=e_{+}=e_{-}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{s}\Rightarrow\frac% {V_{s}}{V_{e}}=\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}}=1+\frac{R_{2}}{R_{1}}

Conclusion : Avec un AOP idéal (i₊=i_-=0) et une réaction négative validée, on peut simplifier les calculs en appliquant la règle e₊=e_-. C'est cette méthode qui sera privilégiée dans tous les calculs des montages qui utilisent des AOP.

Application numérique

on simule l'application numérique avec R₁=1kΩ et R₂=10kΩ

Voir La simulation du diagramme de Bode

On peut lire sur de diagramme un gain d'environ 21dB et une fréquence de coupure à -3dB d'environ 200kHz. Ce qui donne A₀≈11 et ω₀≈1.25×10⁶rad/s. Le produit gain bande passante A₀f₀=11×200000≈2.2×10⁶. Le produit gain bande passante reste le même, la contre réaction augmente la bande passante.

Cette fois-ci, on a une réaction positive, ce qui signifie que la tension de sortie V_s vaut soit +Vcc, soit -Vcc.

On peut écrire :
si e₊ > e_- alors V_s=+Vcc,
si e₊ < e_- alors V_s=-Vcc

La seule rélation que l'on puisse écrire est celle du pont diviseur de tension qui relie e₊ à V_s :

\displaystyle e_{+}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}V_{s}

Si V_e=+Vcc alors V_s=-Vcc, et dans l'autre cas si V_e=-Vcc alors V_s=+Vcc

On va étudier ce qui se passe lorsque V_e varie de -Vcc à +Vcc, puis de +Vcc à - Vcc.

1^ercas : V_e varie de -Vcc à +Vcc
V_e=-Vcc, V_s=+Vcc donne la valeur de e₊ : $\displaystyle e_{+_{h}}=+V_{cc}\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$
V_e augmente pour atteindre +Vcc, lorsque V_e dépasse la valeur e_{+_h} la tension de sortie V_s bascule à -Vcc.

2^èmecas : V_e varie de +Vcc à -Vcc
V_e=+Vcc, V_s=-Vcc donne la valeur de e₊ : $\displaystyle e_{+_{b}}=-V_{cc}\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}$ V_e diminue pour atteindre -Vcc, lorsque V_e passe en dessous de la valeur e_{+_b} la tension de sortie V_s bascule à +Vcc.

Ce changement de valeur pour des niveaux de tensions différents qui dépendent du sens de variation de la tension d'entrée s'appelle le cycle d'hystérésis.

Les montages de base

Il existe un grand nombre de montages à AOP, on en présente quelques montages de base qui permettent de mettre en évidence les principaux fonctionnements de ces montages.

Montage suiveur

C'est le montage non-inverseur à réaction négative précédent avec R₁=∞ et R₂=0.

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : V_e=e₊=e_-=V_s qui donne : $\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=1$

L'intérêt de ce montage réside dans le fait que l'impédance d'entrée est infinie.

La tension de sortie est égale en module et en phase avec la tension d'entrée, c'est pour cette raison que ce montage s'appelle suiveur.

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0

On va maintenant exprimer,e_- en fonction de V_e et V_s en utilisant le théorème de Millmann :

\displaystyle e_{-}=\frac{\frac{V_{e}}{R_{1}}+\frac{V_{s}}{R_{2}}}{\frac{1}{R_% {1}}+\frac{1}{R_{2}}}=0

Il suffit d'annuler le numérateur

\displaystyle\frac{V_{e}}{R_{1}}+\frac{V_{s}}{R_{2}}=0

pour obtenir

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=-\frac{R_{2}}{R_{1}}

Le signe moins indique une opposition de phase qui correspond à un déphasage de π. C'est pourquoi on l'appelle inverseur.

Sur certains montages, on trouve une résistance R₃ entre l'éntrée e_- et la masse à la place du conducteur. Cela vient du fait que les courants i₊ et i_- ne sont pas absolument nul, cette résistance est égale aux deux résistances R₁ et R₂ en parallèle. Cela permet d'équilibrer ces courants pour éviter un offset sur le signal de sortie. Une autre solution est proposée sur certains AOP qui intègrent des broches pour la compensation d'offset.

Conversion entre courant et tension

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0.

En appliquant la loi des mailles, on a $\displaystyle V_{s}+R_{e}I_{e}=e_{+}=e_{-}=0$ . On déduit donc

\displaystyle V_{s}=-R_{e}I_{e}

La tension de sortie dépend du courant d'entrée, on a donc réalisé un convertisseur courant-tension. La tension de sortie est en opposition de phase avec le courant d'entrée.

Cela devait arriver car, ici, a-t-on une réaction équivalente négative ou bien positive ?

Intuitivement, la présence de la résistance R₁ nous laisse supposer que la réaction équivalente est négative. Nous allons considérer ce cas.

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0.

On va donc calculer les expressions de e₊ et e_- en utilisant le théorème de Millmann.

\displaystyle e_{+}=\frac{\frac{V_{e1}}{R}+\frac{V_{s}}{R}}{\frac{1}{R}+\frac{% 1}{R}+\frac{1}{R_{1}}}=R_{1}I\Rightarrow V_{e1}+V_{s}=(2R_{1}+R)I

\displaystyle e_{-}=\frac{\frac{V_{e2}}{R}+\frac{V_{s}}{R}}{\frac{1}{R}+\frac{% 1}{R}}=e_{+}=R_{1}I\Rightarrow V_{e2}+V_{s}=2R_{1}I

en soustrayant les deux expressions obtenues, on obtient :

\displaystyle V_{e1}-V_{e2}=(2R_{1}+R)I-2R_{1}I=RI

Le résultat final est :

\displaystyle I=\frac{V_{e1}-V_{e2}}{R}

Cela correspond à un convertisseur tension-courant.

Voir la vérification de la réaction équivalente négative

On part de la relation de l'AOP

\displaystyle V_{s}(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}(e_{+}-e_{-})

avec (on utilise Millmann en e+)

\displaystyle e_{+}=\frac{R_{1}V_{e_{1}}+R_{1}V_{s}}{2R_{1}+R}

et (on utilise Millmann en e-)

\displaystyle e_{-}=\frac{V_{e_{2}}+V_{s}}{2}

En remplaçant e+ et e- par leurs valeurs, on obtient

\displaystyle V_{s}(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}\left(\frac{R_{1}V_{e_{% 1}}+R_{1}V_{s}}{2R_{1}+R}-\frac{V_{e_{2}}+V_{s}}{2}\right)

On regroupe les termes pour exprimer V_s en fonction de V_e₁ et V_e₂

\displaystyle V_{s}(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}\left(\frac{R_{1}V_{e_{% 1}}}{2R_{1}+R}-\frac{V_{e_{2}}}{2}+\left(\frac{R_{1}}{2R_{1}+R}-\frac{1}{2}% \right)V_{s}\right)

\displaystyle V_{s}(p)\left(1-\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}\left(\frac{R_{1% }}{2R_{1}+R}-\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}\left(% \frac{R_{1}V_{e_{1}}}{2R_{1}+R}-\frac{V_{e_{2}}}{2}\right)

l'expression de V_s devient

\displaystyle V_{s}(p)=\frac{\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}\left(\frac{R_{1}% V_{e_{1}}}{2R_{1}+R}-\frac{V_{e_{2}}}{2}\right){}}{1-\frac{A\omega_{0}}{p+% \omega_{0}}\left(\frac{R_{1}}{2R_{1}+R}-\frac{1}{2}\right)}

finalement on a

\displaystyle V_{s}(p)=\frac{A\omega_{0}\left(\frac{R_{1}V_{e_{1}}}{2R_{1}+R}-% \frac{V_{e_{2}}}{2}\right){}}{p+\omega_{0}-A\omega_{0}\left(\frac{R_{1}}{2R_{1% }+R}-\frac{1}{2}\right)}

La réponse temporelle est une exponentielle qui est négative (stable) si

\displaystyle\frac{R_{1}}{2R_{1}+R}-\frac{1}{2}<0

qui reste toujours vrai si R > 0, donc toujours vrai. On a donc bien une réaction négative avec ce montage. Cette fois-ci l'intuition était la bonne.

Et pour ceux qui aiment jouer, que se passe-t-il si la résistance R₁ est déconnectée ?

\displaystyle V_{s}(p)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}\left(\frac{V_{e_{1}}+V% _{s}}{2}-\frac{V_{e_{2}}+V_{s}}{2}\right)=\frac{A\omega_{0}}{p+\omega_{0}}% \left(\frac{V_{e_{1}}}{2}-\frac{V_{e_{2}}}{2}\right)

On retrouve une expression de la forme de celle de l'AOP sans aucune réaction : un AOP en boucle ouverte. Tout se passe comme si la réaction positive avait annulée la réaction négative.

Opérations mathématiques

Montage additionneur et soustracteur

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0.

On applique le théorème de Millmann en e-

\displaystyle e_{-}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\frac{V_{e_{k}}}{R_{k}}+% \frac{V_{s}}{R}}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{R_{k}}+\frac{1}{R}}}=e_% {+}=0

On déduit :

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\frac{V_{e_{k}}}{R_{k}}}+\frac{V_{s}}{R}=0% \Rightarrow\frac{V_{s}}{R}=-\sum_{k=1}^{n}{\frac{V_{e_{k}}}{R_{k}}}

Finalement, on obtient l'expression de V_s

\displaystyle V_{s}=-R\sum_{k=1}^{n}{\frac{V_{e_{k}}}{R_{k}}}

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0.

On applique le théorème de Millmann en e- et le pont diviseur de tension en e+.
Millman en e-

\displaystyle e_{-}=\frac{\frac{V_{e_{2}}}{R_{1}}+\frac{V_{s}}{R_{2}}}{\frac{1% }{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}

Diviseur de tension en e+

\displaystyle e_{+}=V_{e_{1}}\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}

En égalisant ces deux équations, on obtient :

\displaystyle\frac{\frac{V_{e_{2}}}{R_{1}}+\frac{V_{s}}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}% }+\frac{1}{R_{2}}}=V_{e_{1}}\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}

\displaystyle\frac{V_{e_{2}}}{R_{1}}+\frac{V_{s}}{R_{2}}=V_{e_{1}}\frac{R_{4}}% {R_{3}+R_{4}}\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}

\displaystyle V_{s}=V_{e_{1}}\frac{R_{4}}{R_{3}+R_{4}}\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}% }-\frac{R_{2}V_{e_{2}}}{R_{1}}

et si R₁R₄=R₂R₃, on obtient

\displaystyle V_{s}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\left(V_{e_{1}}-V_{e_{2}}\right)

Montage dérivateur et intégrateur

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0.

On étudie le montage en régime sinusoïdal permanent. On utilise donc l'impédance complexe du condensateur. On a donc un montage inverseur avec des impédances complexes. On applique directement la relation de l'amplificateur inverseur en remplaçant les résistances par des impédances.

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=-\frac{R}{\frac{1}{jC\omega}}=-jRC\omega=RC% \omega e^{j\left(\frac{3\pi}{2}\right)}

La multiplication par jω correspond bien à une dérivée dans le plan des complexes. L'angle obtenu vient de -j qui correspond à un angle de 3π/2 sur l'intervalle [0,2π] ou bien -π/2 sur l'intervalle [-π,π]. En pratique, sur un oscilloscope, le domaine de définition n'est pas précisé, il faut le définir pour obtenir le résultat.

De plus il peut apparaître des oscillations lors du démarrage (régime transitoire) ou en permanence pour un AOP à faible bruit (OP37 par exemple).

Afin de supprimer les oscillations au démarrage, on ajoute une résistance en série avec le condensateur.

On utilise toujours le montage inverseur avec des impédances complexes, la fonction de transfert devient :

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=-\frac{R}{R_{1}+\frac{1}{C\omega}}=-\frac{jRC% \omega}{1+jR_{1}C\omega}

On a bien un montage dérivateur si R₁Cω << 1

Remarque : La fonction de transfert de ce montage est une fonction de type passe-haut du premier ordre si R=R₁ avec une pulsation ω₀ qui vaut $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{RC}$ .
Il ne faut pas oublier le signe - pour le calcul de l'argument qui est $\displaystyle\phi=\frac{3\pi}{2}-\arctan(RC\omega)$ pour un domaine de définition [0,2π].

On peut en déduire qu'un filtre passe-haut est donc un dérivateur dans la bande atténuée.

Application numérique

On prend V_e=1v, f=1kHz, R=22kΩ, C=10nF qui donne V_s=1.38v.

Voir la simulation complète

En régime permanent (après 3ms), on mesure V_s≈1.4v et une phase de -π/2 où 3π/2 suivant le domaine de définition choisi. On observe des oscillations de plus haute fréquence au démarrage. On corrige cela en ajoutant une résistance en série avec le condensateur.

Voir la simulation complète avec ajout de la résistance.

On ajoute la résistance R₁=560Ω

Les signaux obtenus sont bien ceux d'un dérivateur, de plus on vérifie bien R₁Cω≈0.015 qui reste très inférieur à 1.

On a un AOP idéal avec une réaction négative, on a donc : e₊=e_-=0, oui mais pas en continu.

On étudie le montage en régime sinusoïdal permanent. On utilise donc l'impédance complexe du condensateur. Comme pour le montage dérivateur, on utilise le montage inverseur avec des impédances.

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=-\frac{\frac{1}{jC\omega}}{R}=-\frac{1}{jRC% \omega}=\frac{1}{RC\omega}e^{j\left(\frac{\pi}{2}\right)}

La division par jω correspond bien à une intégration dans le plan des complexes. Comme pour le dérivateur le signe moins modifie l'argument, ce qui explique la valeur de π/2.

L'absence de contre-réaction en continu fait que ce montage ne fonctionne pas en pratique à cause des tensions résiduelles continues comme la tension de décalage de l'AOP.

On résoud ce problème en ajoutant une résistance R₁ en parallèle avec C.

On refait le calcul d'un montage inverseur avec des impédances complexes

La relation devient

\displaystyle\frac{V_{s}}{V_{e}}=-\frac{\frac{R_{1}}{jR_{1}C\omega+1}}{R}=-% \frac{R_{1}}{R(1+jR_{1}C\omega)}

Si R₁Cω >> 1 on a bien un montage intégrateur.

Remarque : La fonction de transfert de ce montage est une fonction de type passe-bas du premier ordre avec $\displaystyle H_{0}=\frac{R_{1}}{R}$ et $\displaystyle\omega_{0}=\frac{1}{R_{1}C}$ .
Il ne faut pas oublier le signe - pour le calcul de l'argument qui est $\displaystyle\phi=\pi-\arctan(R_{1}C\omega)$ pour un domaine de définition [0,2π].

On peut en déduire qu'un filtre passe-bas est donc un intégrateur dans la bande atténuée.

Application numérique

On prend V_e=1v, f=1kHz, R=10kΩ, C=10nF et R₁=1MΩ.

Voir la simulation en régime permanent avec la résistance R₁

En régime permanent (après 48ms), on mesure V_s≈1.5v et une phase de π/2 où -3π/2 suivant le domaine de définition choisi. Ce montage vérifie également R₁Cω≈62.8 >> 1

Montages non linéaires

Montage logarithmique et redresseur

On a un AOP idéal et une réaction négative si la diode conduit, on a donc : e₊=e_-=0.

On suppose que la diode est bloquée à la mise sous tension, l'AOP n'a pas de contre-réaction donc V_s=±Vcc, si la tension V_e est négative, alors V_s=+Vcc, ce qui fait que la diode reste bloquée.

Maintenant, on augmente V_e, lorsque V_e≥0, la diode conduit et on a une réaction négative.

On peut donc écrire : V_s=-V_D et V_e=Ri avec $\displaystyle I=I_{s}e^{\frac{V_{D}}{V_{T}}}$ .

De ces équations, on déduit :

\displaystyle V_{e}=RI_{s}e^{\frac{-V_{s}}{V_{T}}}\Rightarrow\frac{V_{e}}{RI_{% s}}=e^{\frac{-V_{s}}{V_{T}}}\Rightarrow\frac{RI_{s}}{V_{e}}=e^{\frac{V_{s}}{V_% {T}}}

on obtient

\displaystyle V_{s}=-V_{T}\ln\left(\frac{V_{e}}{RI_{s}}\right)

On a un montage dont la tension de sortie représente le logarithme de la tension d'entrée si celle-ci est positive, ce qui correspond au domaine de définition de la fonction logarithmique.

On a un AOP idéal et une réaction négative si la diode conduit, on a donc : e₊=e_-=0.

On suppose que la diode est bloquée à la mise sous tension, l'AOP n'a pas de contre-réaction donc V_s=±Vcc, si la tension V_e est négative, alors V_A=-Vcc, ce qui fait que la diode reste bloquée et V_s=0.

Lorsque V_e≥0, la tension V_A devient positive, et la diode conduit, on a alors la réaction négative d'un montage non inverseur : $\displaystyle V_{s}=\left(1+\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)V_{e}$

Dans ce cas V_A=V_D+V_s, on a réalisé un redresseur de tension sans seuil.

Jouons avec les montages AOP

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