Les ensembles
Définitions
Un ensemble contient des objets qui peuvent être de toute nature. Dans le cas qui nous intéresse ici ces objets sont des nombres. Ces objets sont appelés éléments. On dit que chaque élément appartient à l'ensemble. Le symbole d'appartenance est ∈. Il existe également un symbole de non appartenance qui est ∉.
Un ensemble qui contient un seul élément est appelé singleton.
L'ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élement, il se note avec des accolades sans contenu, comme par exemple A={} ou encore avec le symbole ∅, qui s'écrit A=∅.
ATTENTION : A={∅} est un ensemble qui contient un élement qui est l'ensemble vide.
On définit le cardinal d'un ensemble comme le nombre d'éléments que contient cet ensemble, il se note généralement Card suivi du nom de l'ensemble entre parenthèses.
Prenons un exemple :
On définit l'ensemble suivant : A={1,2,3,4,5} qui contient les éléments 1,2,3,4 et 5 qui sont des chiffres. Lorsque que l'on établit la liste des éléments d'un ensemble entre accolades, on dit que l'ensemble est défini en extension. Cet ensemble contient un nombre d'éléments identifiable, on dit qu'il contient un nombre fini d'éléments. A partir de cet ensemble on peut établir les relations suivantes :
- 1 ∈ A qui se lit 1 appartient à A
- 3 ∈ A qui se lit 3 appartient à A
- 0 ∉ A qui se lit 0 n'appartient pas à A
Le cardinal de A est Card(A)=5.
Maintenant on définit un deuxième ensemble B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Tous les éléments de l'ensemble précédent A appartiennent également à B, on dit que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble B, cela se note : A ⊂ B. Par contre l'inverse est faux : B n'est pas inclus dans A, ceci se note : B ⊄ A. Un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A appartiennent à B.
Le cardinal de B est Card(B)=10.
Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent exactement les mêmes éléments.
On définit le produit cartésien de deux ensembles comme l'ensemble des couples d'éléments qui contiennent un élément du premier ensemble et un élément du deuxième ensemble.
On peut représenter ces ensembles à l'aide du diagramme de Venn
Union et Intersection
L'union de deux ensembles est un ensemble qui contient les éléments de chaque ensemble au plus une fois (les éléments communs ne sont pas dupliqués).
L'opérateur d'union est noté ⋃ et l'union de deux ensembles A et B est noté : A ⋃ B qui se lit "A union B".
Prenons un exemple :
Soient les ensembles A={0,1,2,3,4,5} et B={4,5,6,7,8,9}, A ⋃ B={0,1,2,3,4,5,6,5,8,9}.
L'intersection de deux ensembles est un ensemble qui contient les éléments communs aux deux ensembles.
L'opérateur d'intersection est noté ⋂ et l'intersection de deux ensembles A et B est noté : A ⋂ B qui se lit "A inter B".
Prenons un exemple :
Soient les ensembles A={0,1,2,3,4,5} et B={4,5,6,7,8,9}, A ⋂ B={4,5}.
Propriétés
Reprenons les ensembles A={1,2,3,4,5} et B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} qui vérifie A ⊂ B. Dans ce cas A ⋃ B = B et A ⋂ B = A.