Les matrices

Système d'équations et matrices

\displaystyle{}\left\{\begin{array}[]{lcl}3x+y&=&9\\ 2x+3y&=&13\end{array}\right.

La méthode par combinaisons et éliminations donne :

\displaystyle{}\left\{\begin{array}[]{lcl}3x+y&=&9\\ 2x+3y&=&13\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}[]{lcl}9x+0y&=&14\\ 0x+7y&=&21\end{array}\right.

x=2 et y=3

La méthode de Cramer donne :

\displaystyle{}x=\frac{Dx}{D}=\frac{\left|\begin{array}[]{cc}9&1\\ 13&3\\ \end{array}\right|}{\left|\begin{array}[]{cc}3&1\\ 2&3\\ \end{array}\right|}=\frac{9\times 3-13\times 1}{3\times 3-2\times 1}=\frac{14}% {7}=2

\displaystyle{}y=\frac{Dy}{D}=\frac{\left|\begin{array}[]{cc}3&9\\ 2&13\\ \end{array}\right|}{\left|\begin{array}[]{cc}3&1\\ 2&3\\ \end{array}\right|}=\frac{3\times 13-2\times 9}{3\times 3-2\times 1}=\frac{21}% {7}=3

Ce système peut être également représenté par une équation de la forme AX=B qui s'écrit :

\displaystyle{}\left(\begin{array}[]{cc}3&1\\ 2&3\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}[]{c}x\\ y\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{c}9\\ 13\\ \end{array}\right)

avec les matrices

\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cc}3&1\\ 2&3\\ \end{array}\right)

\displaystyle X=\left(\begin{array}[]{c}x\\ y\\ \end{array}\right)

\displaystyle B=\left(\begin{array}[]{c}9\\ 13\\ \end{array}\right)

La résolution est X=A^-1B

qui s'écrit :

\displaystyle X=A^{-1}B=\frac{1}{7}\left(\begin{array}[]{cc}3&1\\ -2&3\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}[]{c}9\\ 13\\ \end{array}\right)=\frac{1}{7}\left(\begin{array}[]{c}27-13\\ -18+39\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{c}2\\ 3\\ \end{array}\right)

Cette écriture du système d'équation utilise les calculs matriciels.

Définitions

Une matrice $\displaystyle A\in\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ de taille (n,p) composée de n lignes et de p colonnes s’écrit :

\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots&a_{2,p}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots&a_{n,p}\end{array}\right)

Il est également possible d'utiliser cette notation : $\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i\leq n;1\leq j\leq p}=A_{n,p}$

Opérations

Addition

Définition

Soient $\displaystyle A\in\mathscr{M}_{n,p}$ , $\displaystyle A\in\mathscr{M}_{n,p}$ et $\displaystyle A\in\mathscr{M}_{n,p}$ , la somme C = A + B est définie, pour chaque élément de la matrice, par le calcul c(i,j)=a(i,j)+b(i,j) qui donne :

\displaystyle\left(\begin{array}[]{cccc}c_{1,1}&c_{1,2}&\ldots&c_{1,p}\\ c_{2,1}&c_{2,2}&\ldots&c_{2,p}\\ \vdots&&&\vdots\\ c_{n,1}&c_{n,2}&\ldots&c_{n,p}\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{cccc}a_% {1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\ldots&a_{1,p}+b_{1,p}\\ a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\ldots&a_{2,p}+b_{2,p}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\ldots&a_{n,p}+b_{n,p}\end{array}\right)

Exemples

Addition des matrices

A=(4-1-445453-5)
 et B=(5-3-3-1-120-4-5)

C=A+B=(9-4-73465-1-10)
Addition des matrices

A=(-33-3-1-24235551)
 et B=(-51-422455-112-5)

C=A+B=(-84-710878467-4)
Addition des matrices

A=(-44-5-53-5)
 et B=(3-4-3210)

C=A+B=(-10-8-34-5)

Jouons avec les additions

Demander les

Solution [ Voir ]

Multiplication par un scalaire

Définition

soit $\displaystyle A\in\mathscr{M}_{n,p}$ et $\displaystyle\lambda\in\mathbb{R}$ , on a $\displaystyle\lambda A=\left(\lambda a_{i,j}\right)$

Ce qui donne la forme générale

\displaystyle\lambda A=\lambda\left(\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&% \ldots&a_{1,p}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots&a_{2,p}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots&a_{n,p}\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{cccc}% \lambda a_{1,1}&\lambda a_{1,2}&\ldots&\lambda a_{1,p}\\ \lambda a_{2,1}&\lambda a_{2,2}&\ldots&\lambda a_{2,p}\\ \vdots&&&\vdots\\ \lambda a_{n,1}&\lambda a_{n,2}&\ldots&\lambda a_{n,p}\end{array}\right)

Propriétés

$\displaystyle(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
$\displaystyle\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$

Exemples

Multiplication de la matrice par -5

A=(-45-154-510-4)

B=(-5)×A=(20-255-25-2025-5020)
Multiplication de la matrice par 5

A=(-443-3-50)

B=(5)×A=(-202015-15-250)
Multiplication de la matrice par 3

A=(-1-3-5-5-2-20530-45)

B=(3)×A=(-3-9-15-15-6-601590-1215)

Produit matriciel

DéfinitionSoient 
			    A  ∈    ℳ    n  ,  p        
			et  
			    B  ∈    ℳ    p  ,  q        
			, le produit matriciel donne la matrice 
			    C  ∈    ℳ    n  ,  q        
			qui est défini par
			
			      c    i  ,  j      =        ∑    k  =  1    p          a    i  ,  k      ⁢    a    k  ,  j            
			
			avec i=1,...,n et j=1,...,q
			
PropriétésLe produit matriciel n'est pas commutatif : AB ≠ BA
Le produit matriciel est associatif : A(BC)=(AB)C=ABC
Le produit matriciel est distributif par rapport l'addition : (A+B)C=AB+AC et A(B+C)=AB+AC
La multiplication d'un produit matriciel par un scalaire peut s'écrire : λ(AB)=(λA)B=A(λB)
C=AB avec 
				    A  ∈    ℳ    3  ,  2        
				et
				    B  ∈    ℳ    2  ,  2        				
				, ce qui fait que 
				    C  ∈    ℳ    3  ,  2        				
				
On peut remarquer que le produit BA n'est pas possible.

				    A  =    (        2      4          3      5          1      8        )      
				
				    B  =    (        2      4          3      1        )      
				
							Cliquer sur étape suivante pour dérouler le calcul du produit matriciel
						
						          c    1  ,  1          =            a    1  ,  1      ⁢    b    1  ,  1        +      a    1  ,  2      ⁢    b    2  ,  1                    =          2  ×  2    +    4  ×  3                =        4  +  12              =      16        
						
						          c    1  ,  2          =            a    1  ,  1      ⁢    b    1  ,  2        +      a    1  ,  2      ⁢    b    2  ,  2                    =          2  ×  4    +    4  ×  1                =        8  +  4              =      12        
						
						          c    2  ,  1          =            a    2  ,  1      ⁢    b    1  ,  1        +      a    2  ,  2      ⁢    b    2  ,  1                    =          3  ×  2    +    5  ×  3                =        6  +  15              =      21        
						
						          c    2  ,  2          =            a    2  ,  1      ⁢    b    1  ,  2        +      a    2  ,  2      ⁢    b    2  ,  2                    =          3  ×  4    +    5  ×  1                =        12  +  5              =      17        
						
						          c    3  ,  1          =            a    3  ,  1      ⁢    b    1  ,  1        +      a    3  ,  2      ⁢    b    2  ,  1                    =          1  ×  2    +    8  ×  3                =        2  +  24              =      26        
						
						          c    3  ,  2          =            a    3  ,  1      ⁢    b    1  ,  2        +      a    3  ,  2      ⁢    b    2  ,  2                    =          1  ×  4    +    8  ×  1                =        4  +  8              =      12        
						
						    C  =    (        16      12          21      17          26      12        )

Exemples

Produit des matrices

A=(15-10-1-1-3550-15)
 et B=(24-5-3-30-51)

C=A×B=(-20-11-134-1225)
Produit des matrices

A=(-3-4-5-324)
 et B=(14-5-23-4-441-111)

C=A×B=(-20926-157-241118)
Produit des matrices

A=(111)
 et B=(123)

C=A×B=(123123123)
On a une duplication des lignes de la matrice
Produit des matrices et division par un scalaire

A=(111)
 et B=(415962)

C=13×A×B=(54)
On obtient ainsi la moyenne de chaque colonne de la matrice.

Cas d'une matrice carrée

Une matrice est dite carrée si n=p

Le résultat est une matrice carrée de même taille
Les propriétés restent identiques
Si AB=BA, on dit que les matrices commutent
Il existe un élément neutre la matrice identité nommée I_n avec n taille de la matrice :
$\displaystyle I_{n}=\left(\begin{array}[]{cccc}1&0&\ldots&0\\ 0&1&\ldots&0\\ \vdots&&&\vdots\\ 0&0&\ldots&1\end{array}\right)$
elle contient des 1 sur sa diagonale et des 0 pour les autres éléments et vérifie AI_n=I_nA.

Jouons avec le produit matriciel

Demander les

Solution [ Voir ]

Transposition

Définition

La transposée de A notée ^tA ou A^T est définie par b_i,j= a_j,i, avec A qui est définie sur n lignes et p colonnes, A^T est défini sur p lignes et n colonnes.

Propriétés

${(A^{T})}^{T} = A$
${(λ A + μ B)}^{T} = λ A^{T} + μ B^{T}$
${(A B)}^{T} = B^{T} A^{T}$

Exemples

Transposition de matrice

A=(-4-31-5-5-201-4)

AT=(-4-50-3-511-2-4)
Transposition de matrice

A=(-2-1-25-32-3-22)

AT=(-25-3-1-3-2-222)
Transposition de produit matriciel

A=(-4-15-5-1132-1)
 et B=(0-50515-301)

ABT=(-20-8131924-130-49)

BT×AT=(-20-8131924-130-49)
Transposition de produit matriciel

A=(101-5-142-21200)
 et B=(4-10-3-1-3-55)

ABT=(2844-29-27-7)

BT×AT=(2844-29-27-7)

Trace

Définition

La trace d'une matrice carrée A est la somme des éléments de sa diagonale. $A \in ℳ_{n}$ , la trace de Aest définie par :

\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,i}}

Propriétés

$\displaystyle tr(\lambda A+\mu B)=\lambda tr(A)+\mu tr(B)$
$\displaystyle tr(A^{T})=tr(A)$
$\displaystyle tr(AB)=tr(BA)$

Exemples

Trace de matrice

A=(0-310-14-25-1)

tr(A)=-2
Trace de matrice

A=(3-34112030-1-220-1-33)

tr(A)=6
Trace de matrice

A=(2-22-451-103)

tr(AT)=10

tr(A)=10
Trace de matrice

A=(1-34-4503-2-1)
 et B=(-323-4-30-3-51)

AB=(-3-97-8-23-122178)
 et BA=(-213-158-3-1620-18-13)

tr(AB)=-18

tr(BA)=-18

Déterminant

Définition

Le déterminant d'une matrice carrée

A \in ℳ_{n}

s'écrit :

\displaystyle det(A)=\left|\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots&a_{1,n}% \\ a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots&a_{2,n}\\ \vdots&&&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\ldots&a_{n,n}\end{array}\right|

Il se calcule en développant, à partir d'une ligne i (i = 1, ..., n) le calcul suivant :

\det (A) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} {(-1)}^{i + j} \det (A_{| i, j |})

avec :

$A_{| i, j |} \in ℳ_{n - 1}$ qui est la matrice A privée de la ligne i et de la colonne j
${(-1)}^{i + j} \det (A_{| i, j |})$ qui est le cofacteur du terme a_i,j

La comatrice de la matrice A, nommée co(A) est la matrice des cofacteurs.

Calcul du déterminant de matrices 2×2 et 3×3

Ce calcul est identique au calcul de résolution de systèmes d'équations avec la méthode de Cramer.

Pour une matrice de taille 2

\displaystyle{}A=\left(\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right)

le déterminant s'écrit

\displaystyle det(A)=\left|\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right|=ad-bc

Pour une matrice de taille 3

\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{ccc}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\\ \end{array}\right)

le déterminant, en développant par rapport à la 1^ère ligne, s'écrit :

\displaystyle\begin{array}[]{lcl}det(A)&=&\left|\begin{array}[]{ccc}a_{1}&b_{1% }&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\\ \end{array}\right|=a_{1}\left|\begin{array}[]{cc}b_{2}&c_{2}\\ b_{3}&c_{3}\\ \end{array}\right|-b_{1}\left|\begin{array}[]{cc}a_{2}&c_{2}\\ a_{3}&c_{3}\\ \end{array}\right|+c_{1}\left|\begin{array}[]{cc}a_{2}&b_{2}\\ a_{3}&b_{3}\\ \end{array}\right|\\ &=&a_{1}\left(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2}c_{3}-a_{3}c_{2}% \right)+c_{1}\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\\ \end{array}

Le changement de signe pour b₁ est la conséquence de (-1)^i+j=(-1)¹⁺²=-1

Le calcul a été développé par rapport à la première ligne, mais il est possible de choisir une autre ligne qui permettrait de simplifier les calculs, comme par exemple une ligne qui contient des 0.

On peut également effectuer le calcul en développant à partir d'une colonne j, en choisissant la colonne qui permet également de simplifier les calculs :

\det (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, j} {(-1)}^{i + j} \det (A_{| i, j |})

Exemples

Déterminant de matrice

A=(4-44-2)

det(A)=8
Déterminant de matrice

A=(5-42-4)

det(A)=-12
Déterminant de matrice

A=(-50-4-54-11-5-5)
Déterminant par rapport à la ligne 1
(-5)|4-1-5-5|+(-4)|-541-5|=41
det(A)=41
Déterminant de matrice

A=(554-2-3350-2)
Déterminant par rapport à la ligne 3
(5)|54-33|+(-2)|55-2-3|=145
det(A)=145

Jouons avec les déterminants

Choisir la taille puis demander une

Solution [ Voir ]

Inversion

Définition

Il existe plusieurs méthodes pour inverser une matrice carrée, nous allons commencer par l'utilisation du déterminant. En premier il faut savoir que les matrices ne sont inversibles que si le déterminant est différent de 0. Si cette hyôthèse est respectée, le calcul est donné par la relation :

A^{-1} = \frac{1}{\det (A)} {(co (A))}^{T}

avec co(A) qui est la comatrice ou matrice des cofacteurs, où chaque élément de cette matrice appelé cofacteur est défini par la relation :

c_{i,j} = {(-1)}^{i + j} \det (A_{| i, j |})

Cas d'une matrice 2x2

\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cc}a&b\\ c&d\\ \end{array}\right)

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}[]{cc}d&-b\\ -c&a\\ \end{array}\right)

Exemples

Inversion de matrice

A=(3123)

co(A)=(3-1-23)

A-1=17(3-1-23)=(0.43-0.14-0.290.43)
Inversion de matrice

A=(-3-55-2)

co(A)=(-2-55-3)

A-1=131(-25-5-3)=(-0.060.16-0.16-0.10)
Inversion de matrice

A=(0522-25-3-31)

co(A)=(13-17-12-116-15294-10)

A-1=1-109(13-1129-1764-12-15-10)=(-0.120.10-0.270.16-0.06-0.040.110.140.09)
Inversion de matrice

A=(0-1405-3-3-3-3)

co(A)=(-24915-15123-1700)

A-1=151(-24-15-1791201530)=(-0.47-0.29-0.330.180.240.000.290.060.00)

Utilisation du pivot de Gauss

La méthode de Gauss est basée sur la méthode de combinaisons et éliminations utilisées pour la résolution de systèmes d'équations. En utilisant la notation matricielle d'un tel système comme cela a été prsenté en début de ce chapitre, on peut écrire : AX=I_n avec I_n qui est la matrice identité. Si on multiplie à gauche par l'inverse, on obtient A^-1AX=A^-1I_n qui vaut X=A^-1. Le pivot de Gauss permet de résoudre cette équation par combinaisons et éliminations en effectuant les mêmes combinaisons sur la matrice A et la matrice idendité. Les calculs se terminent lorsque la transformation de la matrice A correspond à la matrice idendité, la matrice I_n transformée vaut A^-1.

Exemples

Inversion de 
				    A  =    (        3      1          2      3        )     
				
				On utilise la représentation suivante pour les calculs de  A et In :
				
				      (    A  |  I    )    =    (        3      1      1      0          2      3      0      1        )      
				
				          L  1    3      →    L  1    ⇒    (        1          1  3              1  3          0          2      3      0      1        )      
				
				        L  2    -    2  ⁢    L  1        →    L  2    ⇒    (        1          1  3              1  3          0          0          7  3            -      2  3            1        )      
				
				          3  7      ⁢    L  2      →    L  2    ⇒    (        1          1  3              1  3          0          0      1        -      2  7                3  7            )      
				
				        L  1    -        1  3      ⁢    L  2        →    L  1    ⇒    (        1      0          3  7            -      1  7                0      1        -      2  7                3  7            )      
				
				      A    -  1      =        1  7      ⁢    (        3        -  1              -  2        3        )        
				
Inversion de 
				    A  =    (          -  3          -  5            5        -  2          )      
				
				      (    A  |  I    )    =    (          -  3          -  5        1      0          5        -  2        0      1        )      
				
				      -        1  3      ⁢    L  1        →    L  1    ⇒    (        1          5  3            -      1  3            0          5        -  2        0      1        )      
				
				        L  2    -    5  ⁢    L  1        →    L  2    ⇒    (        1          5  3            -      1  3            0          0        -      31  3                5  3          1        )      
				
				      -        3  31      ⁢    L  2        →    L  2    ⇒    (        1          5  3            -      1  3            0          0      1        -      5  31              -      3  31              )      
				
				        L  1    -        5  3      ⁢    L  2        →    L  1    ⇒    (        1      0        -      2  31                5  31              0      1        -      5  31              -      3  31              )      
				
				      A    -  1      =        1  31      ⁢    (          -  2        5            -  5        3        )        
				
Inversion de 
				    A  =    (        0      5      2          2        -  2        5            -  3          -  3        1        )      
				
				      (    A  |  I    )    =    (        0      5      2      1      0      0          2        -  2        5      0      1      0            -  3          -  3        1      0      0      1        )      
				
Avant de faire le calcul on va permuter les lignes 1 et 2 afin de ne plus avoir de 0 sur la première ligne
				
				      (    A  |  I    )    =    (        2        -  2        5      0      1      0          0      5      2      1      0      0            -  3          -  3        1      0      0      1        )      
				
				                  1  2      ⁢    L  1      →    L  1                      1  5      ⁢    L  2      →    L  2                      1  3      ⁢    L  3      →    L  3            ⇒    (        1        -  1            5  2          0          1  2          0          0      1          2  5              1  5          0      0            -  1          -  1            1  3          0      0          1  3            )      
				
				        L  1    +    L  3      →    L  3    ⇒    (        1        -  1            5  2          0          1  2          0          0      1          2  5              1  5          0      0          0        -  2            17  6          0          1  2              1  3            )      
				
				        L  1    +    L  3      →    L  3    ⇒    (        1        -  1            5  2          0          1  2          0          0      1          2  5              1  5          0      0          0      0          109  30              2  5              1  2              1  3            )      
				
				          30  109      ⁢    L  3      →    L  3    ⇒    (        1        -  1            5  2          0          1  2          0          0      1          2  5              1  5          0      0          0      0      1          12  109              15  109              10  109            )      
				
				        L  2    -        2  5      ⁢    L  3        →    L  2    ⇒    (        1        -  1            5  2          0          1  2          0          0      1      0          17  109            -      6  109              -      4  109                0      0      1          12  109              15  109              10  109            )      
				
				        L  1    -        5  2      ⁢    L  3        →    L  1    ⇒    (        1        -  1        0        -      30  109                17  109            -      25  109                0      1      0          17  109            -      6  109              -      4  109                0      0      1          12  109              15  109              10  109            )      
				
				        L  1    +    L  2      →    L  1    ⇒    (        1      0      0        -      13  109                11  109            -      29  109                0      1      0          17  109            -      6  109              -      4  109                0      0      1          12  109              15  109              10  109            )      				
				
				      A    -  1      =        1  109      ⁢    (          -  13        11        -  29            17        -  6          -  4            12      15      10        )        
				
Inversion de 
				    A  =    (        0        -  1        4          0      5        -  3              -  3          -  3          -  3          )      
				
				      (    A  |  I    )    =    (        0        -  1        4      1      0      0          0      5        -  3        0      1      0            -  3          -  3          -  3        0      0      1        )      
				
Avant de faire le calcul on va permuter les lignes 1 et 3 afin de ne plus avoir de 0 sur la première ligne
				
				      (    A  |  I    )    =    (          -  3          -  3          -  3        0      0      1          0      5        -  3        0      1      0          0        -  1        4      1      0      0        )      
				
				              -        L  1    3        →    l  1                      L  2    5      →    l  2                  ⇒    (        1      1      1      0      0        -      1  3                0      1        -      3  5            0          1  5          0          0        -  1        4      1      0      0        )      
				
				        L  2    +    L  3      →    L  3    ⇒    (        1      1      1      0      0        -      1  3                0      1        -      3  5            0          1  5          0          0      0          17  5          1          1  5          0        )      
				
				          5  17      ⁢    L  3      →    L  3    ⇒    (        1      1      1      0      0        -      1  3                0      1        -      3  5            0          1  5          0          0      0      1          5  17              1  17          0        )      					
				
				        L  2    +        3  5      ⁢    L  3        →    L  2    ⇒    (        1      1      1      0      0        -      1  3                0      1      0          3  17              4  17          0          0      0      1          5  17              1  17          0        )      
				
				        L  1    -    L  3      →    L  1    ⇒    (        1      1      0        -      5  17              -      1  17              -      1  3                0      1      0          3  17              4  17          0          0      0      1          5  17              1  17          0        )      
				
				        L  1    -    L  2      →    L  1    ⇒    (        1      0      0        -      8  17              -      5  17              -      1  3                0      1      0          3  17              4  17          0          0      0      1          5  17              1  17          0        )      
				
				      A    -  1      =        1  51      ⁢    (          -  24          -  15          -  17            9      12      0          15      3      0        )

Jouons avec les inversions

Choisir la taille puis demander une

Solution [ Voir ]

Matrices particulières

Matrice symétrique

Définition

Une matrice carrée A ∈ ℳ_n est une matrice symétrique si pour chaque indice on a a_i,j=a_j,i.

Une matrice symétrique vérifie l'égalité A=A^T.

Propriétés

AB=(BA)^T, en partant de la propriété (AB)^T=B^TA^T, on obtient AB=(B^TA^T)^T=(BA)^T

Exemple

Soient les matrices symétriques $\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{rrr}1&2&5\\ 2&4&7\\ 5&7&3\end{array}\right)$ et $\displaystyle B=\left(\begin{array}[]{rrr}5&1&3\\ 1&2&4\\ 3&4&3\end{array}\right)$

Les produits de ces matrices donnent : $\displaystyle AB=\left(\begin{array}[]{rrr}1&2&5\\ 2&4&7\\ 5&7&3\end{array}\right)\left(\begin{array}[]{rrr}5&1&3\\ 1&2&4\\ 3&4&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{rrr}22&25&26\\ 35&38&43\\ 41&31&52\end{array}\right)$ et $\displaystyle BA=\left(\begin{array}[]{rrr}5&1&3\\ 1&2&4\\ 3&4&3\end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{rrr}1&2&5\\ 2&4&7\\ 5&7&3\end{array}\right)\left(\begin{array}[]{rrr}22&35&41\\ 25&38&31\\ 26&43&52\end{array}\right)$

Matrice diagonale

Définition

Une matrice carrée A ∈ ℳ_n est une matrice diagonale , si les coefficients a_i,j sont nuls pour i ≠ j.

\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}&0&\ldots&0\\ 0&a_{2,2}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&a_{n,n}\\ \end{array}\right)\par

Le produit de 2 matrices diagonales est une matrice diagonale :

\displaystyle AB=\left(\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}&0&\ldots&0\\ 0&a_{2,2}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&a_{n,n}\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}[]{cccc}b_{1,1}&0&\ldots&0\\ 0&b_{2,2}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&b_{n,n}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}b_{1,1}&0&\ldots&0\\ 0&a_{2,2}b_{2,2}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&a_{n,n}b_{n,n}\\ \end{array}\right)

Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit des coefficients de la diagonale.

\displaystyle det(A)=\left|\begin{array}[]{cccc}a_{1,1}&0&\ldots&0\\ 0&a_{2,2}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&a_{n,n}\\ \end{array}\right|=\prod_{i=1}^{n}{a_{i,i}}\par

Le déterminant est nul si au moins un des coefficients est nul.

Si le déterminant n'est pas nul, la matrice est inversible est son inverse est une matrice diagonale où chaque coefficient est l'inverse du coefficient de la matrice d'origine.

\displaystyle A^{-1}=\left(\begin{array}[]{cccc}\frac{1}{a_{1,1}}&0&\ldots&0\\ 0&\frac{1}{a_{2,2}}&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&\frac{1}{a_{n,n}}\\ \end{array}\right)

Exemples

Produit des matrices

A=(200030004)
 et B=(600050002)

C=A×B=(12000150008)
Déterminant de matrice

A=(200030004)
Déterminant par rapport à la ligne 1
(2)|3004|=24
det(A)=24
Inversion de matrice

A=(200030004)

co(A)=(1200080006)

A-1=124(1200080006)=(0.500.000.000.000.330.000.000.000.25)

Matrices triangulaires

Définition

Une matrice carrée A ∈ ℳ_n est une matrice triangulaire est une matrice où les coefficients au dessus ou bien au dessous de la diagonale sont nuls. Il existe donc deux types de matrices triangulaires, la matrice triangulaire supérieure où les coefficents a_i,j sont nuls pour i > j